uni

University stuff
git clone git://git.margiolis.net/uni.git
Log | Files | Refs | README | LICENSE

ct1.tex (13411B)


      1 \documentclass{article}
      2 \usepackage[utf8]{inputenc}
      3 \usepackage[greek,english]{babel}
      4 \usepackage{alphabeta}
      5 \usepackage{fancyhdr}
      6 \usepackage{listings}
      7 \usepackage{mathtools}
      8 \usepackage{siunitx}
      9 \usepackage{xcolor}
     10 \usepackage{graphicx}
     11 \usepackage{pgfplots}
     12 \usepackage[export]{adjustbox}
     13 \usepackage{biblatex}
     14 \addbibresource{ct1-citations.bib}
     15 
     16 \title{Εργαστηριακή Εργασία 1 - Εισαγωγή στο Εργαστήριο}
     17 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133 \\ Τμήμα 4}
     18 \date{Ιούνιος 2020}
     19 
     20 \begin{document}
     21 
     22 \begin{figure}[t!]
     23     \centering
     24     \includegraphics[scale=0.3, center]{./res/Logo_University_of_West_Attica.png}
     25     \Large
     26     \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\
     27     \large
     28     Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών \\
     29     Θεωρία Κυκλωμάτων
     30 \end{figure}
     31 \begin{figure}[b]
     32     \centering
     33     \includegraphics[scale=1]{./res/19390133.jpeg}
     34 \end{figure}
     35 
     36 \begin{titlepage}
     37 \maketitle
     38 \end{titlepage}
     39 
     40 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα}
     41 \tableofcontents
     42 
     43 \renewcommand{\abstractname}{Εισαγωγή}
     44 \begin{abstract}
     45     Ο σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση των βασικών εννοιών, νόμων και
     46     εφαρμογών που υπάρχουν στην επιστήμη της Θεωρίας Κυκλωμάτων.
     47 \end{abstract}
     48 \pagebreak
     49 
     50 \section{Συλλογή βιβλιογραφίας}
     51 Η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε, αν και δεν είναι μεγάλη σε έκταση, κάλυψε όλα
     52 τα βασικά προβλήματα της εργασίας. Τα μέρη της βιβλιογραφίας που χρησιμοποιήθηκαν είναι
     53 βασισμένα κυρίως στα θεωρητικά κομμάτια, όπως τις έννοιες και τις μαθηματικές
     54 διατυπώσεις των κανόνων του Kirchhoff, την γραμμικότητα, και τον διαιρέτη τάσης.
     55 
     56 \section{Περιγραφή υλοποίησης}
     57 Για την υλοποίηση της εργασίας και βασισμένος στην παραπάνω βιβλιογραφία που συλλέχθηκε,
     58 χρησιμοποίησα μερικά από τα βασικά υλικά ενός κυκλώματος - αντιστάσεις και πηγές.
     59 Εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν είναι το αμπερόμετρο και το βολτόμετρο.
     60 
     61 \section{Εργαστηριακό μέρος}
     62 \subsection{Επαλήθευση κανόνων του Kirchhoff}
     63 \subsubsection{Πρώτος κανόνας}
     64 Βάσει του πρώτου κανόνα του Kirchhoff, ισχύει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων
     65 των ρευμάτων που εισέρχονται ή εξέρχονται σε/από έναν κόμβο είναι ίσο με
     66 μηδέν \cite{papadopoulos}. Αυτό μπορούμε να το εκφράσουμε ως 
     67 \[\sum{I_{in}} = 0\] και \[\sum{I_{out}} = 0\]
     68 Μια εναλλακτική ερμηνεία του πρώτου κανόνα του Kirchhoff είναι ότι το άθροισμα των
     69 ρευμάτων που εισρέουν στον κόμβο είναι ίσο με το άθροισμα των ρευμάτων που εκρέουν
     70 από τον κόμβο, δηλαδή ότι
     71 \[\sum{I_{in}} = \sum{I_{out}}\]
     72 Από την σχέση αυτή είναι ασφαλές να υποθέσουμε, ότι αφού το ρεύμα που θα εισέλθει στον
     73 κόμβο είναι ίσο με το ρεύμα που θα εξέλθει, τότε και το ρεύμα που κυκλοφορεί μέσα στον
     74 κόμβο είναι και αυτό ίσο. \\
     75 Στην προκειμένη περίπτωση, το ρεύμα $I_1$ που εισρέει στον κόμβο σημαίνει ότι είναι
     76 ίσο με τα ρεύματα $I_2$, $I_3$, $I_4$, τα οποία αντιστιχούν στα ρεύματα του κόμβου.
     77 Αντίστοιχα, το ρεύμα $I_5$ που εκρέει από τον κόμβο είναι επίσης ίσο με τα ρεύματα
     78 $I_2$, $I_3$ και $I_4$.
     79 
     80 Έτσι, χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm ώστε να βρούμε τα ρεύματα, έχουμε ότι
     81 
     82 \[I_1 = I_2 + I_3 + I_4 = \si{\frac{V_5}{R_{17}} + \frac{V_5}{R_{18}} +
     83 	\frac{V_5}{R_{19}}} = \si{\frac{10\volt}{1\kohm} +
     84 	\frac{10\volt}{1\kohm} + \frac{10\volt}{1\kohm}} =
     85 	\si{30\milli\ampere}\]
     86 Αντίστοιχα
     87 \[I_5 = I_2 + I_3 + I_4 = \si{30\milli\ampere}\]
     88 Άρα καταλήγουμε στο ότι
     89 \[\sum{I_{in}} = 0 \Rightarrow I_1 - I_2 - I_3 - I_4 = 0 \Rightarrow
     90     \si{(30 - 30)\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\]
     91 \[\sum{I_{out}} = 0 \Rightarrow I_5 - I_2 - I_3 - I_4 = 0 \Rightarrow
     92     \si{(30 - 30)\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\]
     93 
     94 Μπορούμε να το επαληθεύσουμε περαιτέρω χρησιμοποιώντας την δεύτερη ερμηνεία του
     95 κανόνα του Kirchhoff. Οπότε έχουμε ότι
     96 \[\sum{I_{in}} = \sum{I_{out}} \Rightarrow I_1 = I_5 \Rightarrow \si{30\milli\ampere} =
     97         \si{30\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\]
     98 
     99 \subsubsection{Δεύτερος κανόνας}
    100 Ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff μας λέει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων
    101 κατα μήκος μίας κλειστής διαδρομής ισούται με μηδέν \cite{papadopoulos}.
    102 Με άλλα λόγια μπορούμε να περιγράψουμε το φαινόμενο αυτό ως ότι \textit{το αλγεβρικό
    103 άθροισμα των αυξήσεων τάσεων μείον το άθροισμα των πτώσεων τάσης κατα μήκος μιας
    104 κλειστής διαδρομής είναι ίσο με μηδέν} \cite{mcallister}.
    105 Μπορούμε να εκφράσουμε τις εξής δύο ερμηνείες ως
    106 \[\sum{V_{rise}} - \sum{V_{drop}} = 0 \Rightarrow \sum{V_{rise}} = \sum{V_{drop}}\]
    107 και
    108 \[\sum_{i = loop}{V_{i}} = 0\]
    109 Στην δεύτερη σχέση ουσιαστικά αθροίζουμε όλες τις τάσεις στον βρόχο. \\
    110 Προκειμένου να επαληθεύσουμε τον κανόνα τάσεων του Kirchhoff θα πρέπει
    111 αρχικά να βρούμε την συνολική αντίσταση του κυκλώματος. Εφόσον έχουμε σύνδεση
    112 σε σειρά θα χρειαστούμε τον τύπο
    113 \begin{equation}
    114 	R_T = R_7 + R_8 + R_9
    115 \end{equation}
    116 Αντικαθιστόντας στον τύπο (1) έχουμε
    117 \[R_T = \si{(4,7 + 1 + 1)\kohm} = \si{6,7\kohm}\]
    118 	
    119 Με το παραπάνω αποτέλεσμα θα βρούμε το συνολικό ρεύμα που διαρρέει
    120 στο κύκλωμα χρησιμοποιώντας τον	νόμο του Ohm:
    121 \begin{equation}
    122 	I = \frac{V}{R}
    123 \end{equation}
    124 οπότε έχουμε
    125 \[I = \frac{V_3}{R_T} = \si{\frac{10\volt}{6,7\kohm}} = \si{1,5\milli\ampere}\]
    126 
    127 Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε τις εντασεις των ρευμάτων που εισρέουν
    128 και εκρέουν από τον κόμβο.Για να βρούμε τις εντάσεις θα χρησιμοποιήσουμε
    129 τον νόμο του Ohm:
    130 \begin{equation}
    131 	V = I \cdot {R}		
    132 \end{equation}
    133 οπότε έχουμε
    134 \[V_3 =	\si{10\volt}\]
    135 \[V_{M1} = \si{-4,7\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-7,0\volt}\]
    136 \[V_{M3} = \si{-1\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-1,5\volt}\]
    137 \[V_{M4} = \si{-1\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-1,5\volt}\]
    138 
    139 Τέλος, αν αθροίσουμε τις παραπάνω έξι εντάσεις, θα επαληθεύσουμε τον
    140 δεύτερο κανόνα του Kirchhoff επειδή προκύπτει οτι το άθροισμα
    141 τους ισούται με μηδέν
    142 \[V_T = V_3 + V_{M1} + V_{M3} + V_{M4} \Rightarrow \]
    143 \[V_T = \si{(10 - 7,0 - 1,5 - 1,5)\volt} = \si{0\volt}\]
    144 
    145 \subsection{Γραφική αναπαράσταση σχέσης τάσης-έντασης}
    146 \subsubsection{Σχήμα 3}
    147 
    148 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/circ1.png} \\
    149 
    150 Από το παραπάνω κύκλωμα προκύπτουν οι ακόλουθες μετρήσεις
    151 
    152 \begin{center}
    153 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    154 	\hline
    155 	Τάση πηγής (\si{\volt}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    156 	\hline
    157 	Ένταση (I)				& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    158 	\hline
    159 	Τάση VM2 (\si{\volt}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    160 	\hline
    161 \end{tabular}
    162 \end{center}
    163 
    164 \begin{tikzpicture}
    165 \begin{axis}[
    166 	xlabel={Τάση (\si{\volt})},
    167 	ylabel={Ένταση (\si{\milli\ampere})},
    168 	xmin=0, xmax=10,
    169 	ymin=0, ymax=10,
    170 	xtick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
    171 	ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
    172 	grid style=dashed,
    173 ]
    174 \addplot[
    175 	color=blue,
    176 	mark=*,
    177 ]
    178 coordinates {
    179 	(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)(10,10)
    180 };
    181 \end{axis}
    182 \end{tikzpicture}
    183 
    184 Βάσει του διαγράμματος παρατηρούμε ότι η ένταση του ρεύματος αυξάνεται γραμμικά
    185 όσο αυξάνεται και η τάση. Αυτό συμβαίνει σε γραμμικά κυκλώματα - δηλαδή κυκλώματα
    186 που αποτελούνται από γραμμικά στοιχεία \cite{papadopoulos}. Στην προκειμένη περίπτωση
    187 έχουμε ωμική αντίσταση, η οποία είναι γραμμικό στοιχείο. \\
    188 	
    189 \subsubsection{Σχήμα 4}
    190 
    191 \begin{center}
    192 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    193 	\hline
    194 	Αντίσταση (R) \%	& 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\
    195 	\hline
    196 	Τάση (\si{\volt})	& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 &	8 & 9 & 10 \\
    197 	\hline
    198 \end{tabular}
    199 \end{center}
    200 
    201 \subsection{Μεταβολή τιμής μεταβλητής αντίστασης}
    202 \subsubsection{Σχήμα 5}
    203 
    204 \begin{center}
    205 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    206 	\hline
    207 	Αντίσταση (R) \%	& 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\
    208 	\hline
    209 	Ένταση (I) & -1,111 & -1,25 & -1,428 & -1,666 & -2 & -2,5 & -3,333 & -5 & -10 & -75 \\
    210 	\hline
    211 \end{tabular}
    212 \end{center}
    213 
    214 \subsection{Ερώτηση 1}
    215 \textit{Τί θα γίνει στο σχήμα 5 αν η μεταβλητή αντίσταση πάει στο 0\%; Υπολογίσατε το
    216 ρεύμα που θα διαρρεύσει την αντίσταση. Υπάρχει τρόπος να επιλυθεί το συγκεκριμένο
    217 πρόβλημα;} \\
    218 
    219 Απάντηση: Θα γίνει βραχυκύκλωμα επειδή δεν θα υπάρχει καθόλου αντίσταση. Βραχυκύκλωμα
    220 συμβαίνει γενικότερα όταν υπάρχει ωμική αντίσταση μηδενικής τιμής ή
    221 άπειρης αγωγιμότητας \cite{papadopoulos}. Προκειμένου να λυθεί αυτό το πρόβλημα, πρέπει
    222 να συνδέσουμε άλλη μία αντίσταση ώστε να αποτρέψει το βραχυκύκλωμα σε περίπτωση που η
    223 μεταβλητή αντίσταση πάει στο 0\%.
    224 
    225 \subsection{Ερώτηση 2}
    226 \textit{Η μέτρηση της τάσης στο σχήμα 3, θα ήταν ορθότερο να περιλαμβάνει την πτώση
    227 τάσης στα άκρα της αντίστασης και του αμπερομέτρου; Δικαιολογήστε.} \\
    228 
    229 Απάντηση: Ναι, θα ήταν ορθότερο η μέτρηση να περιλαμβάνει την πτώση τάσης στα άκρα
    230 της αντίστασης διότι το αμπερόμετρο, παρ'όλο που είναι σχεδιασμένο για όσο μικρότερη
    231 πτώση τάσης, δεν προσφέρει μηδενική πτώση, οπότε αυτό σημαίνει ότι συνδέοντάς το θα
    232 υπάρξει έστω και μικρή πτώση τάσης, και έτσι αν δεν την έχουμε υπολογίσει
    233 είναι πιθανό να μην έχουμε όση ακρίβεια θα θέλαμε στα αποτελέσματά μας.
    234 
    235 \subsection{Ερώτηση 3}
    236 \textit{Θεωρήστε διαιρέτη τάσης, όπως στο σχήμα 4, με $R_1 = R_2 = \si{1\kohm}$.
    237 Συνδέουμε φορτίο $R_L = \si{10\ohm}$. Τί θα συμβεί; Προτείνετε τρόπο επίλυσης.} \\
    238 
    239 Απάντηση: Συνδέοντας φορτίο $R_L = \si{10\ohm}$ στον διαιρέτη τάσης \cite{harvard}
    240 θα έχουμε πολύ μεγάλη πτώση τάσης. Ένας τρόπος επίλυσης είναι να συνδέσουμε αρκετά
    241 μεγαλύτερο φορτίο $R_L$. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αυξάνοντας την τιμή της αντίστασης
    242 του φορτίου $R_L$.
    243 
    244 \renewcommand\refname{Πηγές}
    245 \printbibliography
    246 \end{document}