ct1.tex (13411B)
1 \documentclass{article} 2 \usepackage[utf8]{inputenc} 3 \usepackage[greek,english]{babel} 4 \usepackage{alphabeta} 5 \usepackage{fancyhdr} 6 \usepackage{listings} 7 \usepackage{mathtools} 8 \usepackage{siunitx} 9 \usepackage{xcolor} 10 \usepackage{graphicx} 11 \usepackage{pgfplots} 12 \usepackage[export]{adjustbox} 13 \usepackage{biblatex} 14 \addbibresource{ct1-citations.bib} 15 16 \title{Εργαστηριακή Εργασία 1 - Εισαγωγή στο Εργαστήριο} 17 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133 \\ Τμήμα 4} 18 \date{Ιούνιος 2020} 19 20 \begin{document} 21 22 \begin{figure}[t!] 23 \centering 24 \includegraphics[scale=0.3, center]{./res/Logo_University_of_West_Attica.png} 25 \Large 26 \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\ 27 \large 28 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών \\ 29 Θεωρία Κυκλωμάτων 30 \end{figure} 31 \begin{figure}[b] 32 \centering 33 \includegraphics[scale=1]{./res/19390133.jpeg} 34 \end{figure} 35 36 \begin{titlepage} 37 \maketitle 38 \end{titlepage} 39 40 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα} 41 \tableofcontents 42 43 \renewcommand{\abstractname}{Εισαγωγή} 44 \begin{abstract} 45 Ο σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση των βασικών εννοιών, νόμων και 46 εφαρμογών που υπάρχουν στην επιστήμη της Θεωρίας Κυκλωμάτων. 47 \end{abstract} 48 \pagebreak 49 50 \section{Συλλογή βιβλιογραφίας} 51 Η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε, αν και δεν είναι μεγάλη σε έκταση, κάλυψε όλα 52 τα βασικά προβλήματα της εργασίας. Τα μέρη της βιβλιογραφίας που χρησιμοποιήθηκαν είναι 53 βασισμένα κυρίως στα θεωρητικά κομμάτια, όπως τις έννοιες και τις μαθηματικές 54 διατυπώσεις των κανόνων του Kirchhoff, την γραμμικότητα, και τον διαιρέτη τάσης. 55 56 \section{Περιγραφή υλοποίησης} 57 Για την υλοποίηση της εργασίας και βασισμένος στην παραπάνω βιβλιογραφία που συλλέχθηκε, 58 χρησιμοποίησα μερικά από τα βασικά υλικά ενός κυκλώματος - αντιστάσεις και πηγές. 59 Εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν είναι το αμπερόμετρο και το βολτόμετρο. 60 61 \section{Εργαστηριακό μέρος} 62 \subsection{Επαλήθευση κανόνων του Kirchhoff} 63 \subsubsection{Πρώτος κανόνας} 64 Βάσει του πρώτου κανόνα του Kirchhoff, ισχύει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων 65 των ρευμάτων που εισέρχονται ή εξέρχονται σε/από έναν κόμβο είναι ίσο με 66 μηδέν \cite{papadopoulos}. Αυτό μπορούμε να το εκφράσουμε ως 67 \[\sum{I_{in}} = 0\] και \[\sum{I_{out}} = 0\] 68 Μια εναλλακτική ερμηνεία του πρώτου κανόνα του Kirchhoff είναι ότι το άθροισμα των 69 ρευμάτων που εισρέουν στον κόμβο είναι ίσο με το άθροισμα των ρευμάτων που εκρέουν 70 από τον κόμβο, δηλαδή ότι 71 \[\sum{I_{in}} = \sum{I_{out}}\] 72 Από την σχέση αυτή είναι ασφαλές να υποθέσουμε, ότι αφού το ρεύμα που θα εισέλθει στον 73 κόμβο είναι ίσο με το ρεύμα που θα εξέλθει, τότε και το ρεύμα που κυκλοφορεί μέσα στον 74 κόμβο είναι και αυτό ίσο. \\ 75 Στην προκειμένη περίπτωση, το ρεύμα $I_1$ που εισρέει στον κόμβο σημαίνει ότι είναι 76 ίσο με τα ρεύματα $I_2$, $I_3$, $I_4$, τα οποία αντιστιχούν στα ρεύματα του κόμβου. 77 Αντίστοιχα, το ρεύμα $I_5$ που εκρέει από τον κόμβο είναι επίσης ίσο με τα ρεύματα 78 $I_2$, $I_3$ και $I_4$. 79 80 Έτσι, χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm ώστε να βρούμε τα ρεύματα, έχουμε ότι 81 82 \[I_1 = I_2 + I_3 + I_4 = \si{\frac{V_5}{R_{17}} + \frac{V_5}{R_{18}} + 83 \frac{V_5}{R_{19}}} = \si{\frac{10\volt}{1\kohm} + 84 \frac{10\volt}{1\kohm} + \frac{10\volt}{1\kohm}} = 85 \si{30\milli\ampere}\] 86 Αντίστοιχα 87 \[I_5 = I_2 + I_3 + I_4 = \si{30\milli\ampere}\] 88 Άρα καταλήγουμε στο ότι 89 \[\sum{I_{in}} = 0 \Rightarrow I_1 - I_2 - I_3 - I_4 = 0 \Rightarrow 90 \si{(30 - 30)\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\] 91 \[\sum{I_{out}} = 0 \Rightarrow I_5 - I_2 - I_3 - I_4 = 0 \Rightarrow 92 \si{(30 - 30)\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\] 93 94 Μπορούμε να το επαληθεύσουμε περαιτέρω χρησιμοποιώντας την δεύτερη ερμηνεία του 95 κανόνα του Kirchhoff. Οπότε έχουμε ότι 96 \[\sum{I_{in}} = \sum{I_{out}} \Rightarrow I_1 = I_5 \Rightarrow \si{30\milli\ampere} = 97 \si{30\milli\ampere} = \si{0\milli\ampere}\] 98 99 \subsubsection{Δεύτερος κανόνας} 100 Ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff μας λέει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων 101 κατα μήκος μίας κλειστής διαδρομής ισούται με μηδέν \cite{papadopoulos}. 102 Με άλλα λόγια μπορούμε να περιγράψουμε το φαινόμενο αυτό ως ότι \textit{το αλγεβρικό 103 άθροισμα των αυξήσεων τάσεων μείον το άθροισμα των πτώσεων τάσης κατα μήκος μιας 104 κλειστής διαδρομής είναι ίσο με μηδέν} \cite{mcallister}. 105 Μπορούμε να εκφράσουμε τις εξής δύο ερμηνείες ως 106 \[\sum{V_{rise}} - \sum{V_{drop}} = 0 \Rightarrow \sum{V_{rise}} = \sum{V_{drop}}\] 107 και 108 \[\sum_{i = loop}{V_{i}} = 0\] 109 Στην δεύτερη σχέση ουσιαστικά αθροίζουμε όλες τις τάσεις στον βρόχο. \\ 110 Προκειμένου να επαληθεύσουμε τον κανόνα τάσεων του Kirchhoff θα πρέπει 111 αρχικά να βρούμε την συνολική αντίσταση του κυκλώματος. Εφόσον έχουμε σύνδεση 112 σε σειρά θα χρειαστούμε τον τύπο 113 \begin{equation} 114 R_T = R_7 + R_8 + R_9 115 \end{equation} 116 Αντικαθιστόντας στον τύπο (1) έχουμε 117 \[R_T = \si{(4,7 + 1 + 1)\kohm} = \si{6,7\kohm}\] 118 119 Με το παραπάνω αποτέλεσμα θα βρούμε το συνολικό ρεύμα που διαρρέει 120 στο κύκλωμα χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm: 121 \begin{equation} 122 I = \frac{V}{R} 123 \end{equation} 124 οπότε έχουμε 125 \[I = \frac{V_3}{R_T} = \si{\frac{10\volt}{6,7\kohm}} = \si{1,5\milli\ampere}\] 126 127 Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε τις εντασεις των ρευμάτων που εισρέουν 128 και εκρέουν από τον κόμβο.Για να βρούμε τις εντάσεις θα χρησιμοποιήσουμε 129 τον νόμο του Ohm: 130 \begin{equation} 131 V = I \cdot {R} 132 \end{equation} 133 οπότε έχουμε 134 \[V_3 = \si{10\volt}\] 135 \[V_{M1} = \si{-4,7\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-7,0\volt}\] 136 \[V_{M3} = \si{-1\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-1,5\volt}\] 137 \[V_{M4} = \si{-1\kohm \cdot {1,5\milli\ampere}} = \si{-1,5\volt}\] 138 139 Τέλος, αν αθροίσουμε τις παραπάνω έξι εντάσεις, θα επαληθεύσουμε τον 140 δεύτερο κανόνα του Kirchhoff επειδή προκύπτει οτι το άθροισμα 141 τους ισούται με μηδέν 142 \[V_T = V_3 + V_{M1} + V_{M3} + V_{M4} \Rightarrow \] 143 \[V_T = \si{(10 - 7,0 - 1,5 - 1,5)\volt} = \si{0\volt}\] 144 145 \subsection{Γραφική αναπαράσταση σχέσης τάσης-έντασης} 146 \subsubsection{Σχήμα 3} 147 148 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/circ1.png} \\ 149 150 Από το παραπάνω κύκλωμα προκύπτουν οι ακόλουθες μετρήσεις 151 152 \begin{center} 153 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} 154 \hline 155 Τάση πηγής (\si{\volt}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 156 \hline 157 Ένταση (I) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 158 \hline 159 Τάση VM2 (\si{\volt}) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 160 \hline 161 \end{tabular} 162 \end{center} 163 164 \begin{tikzpicture} 165 \begin{axis}[ 166 xlabel={Τάση (\si{\volt})}, 167 ylabel={Ένταση (\si{\milli\ampere})}, 168 xmin=0, xmax=10, 169 ymin=0, ymax=10, 170 xtick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 171 ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 172 grid style=dashed, 173 ] 174 \addplot[ 175 color=blue, 176 mark=*, 177 ] 178 coordinates { 179 (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)(10,10) 180 }; 181 \end{axis} 182 \end{tikzpicture} 183 184 Βάσει του διαγράμματος παρατηρούμε ότι η ένταση του ρεύματος αυξάνεται γραμμικά 185 όσο αυξάνεται και η τάση. Αυτό συμβαίνει σε γραμμικά κυκλώματα - δηλαδή κυκλώματα 186 που αποτελούνται από γραμμικά στοιχεία \cite{papadopoulos}. Στην προκειμένη περίπτωση 187 έχουμε ωμική αντίσταση, η οποία είναι γραμμικό στοιχείο. \\ 188 189 \subsubsection{Σχήμα 4} 190 191 \begin{center} 192 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} 193 \hline 194 Αντίσταση (R) \% & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ 195 \hline 196 Τάση (\si{\volt}) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 197 \hline 198 \end{tabular} 199 \end{center} 200 201 \subsection{Μεταβολή τιμής μεταβλητής αντίστασης} 202 \subsubsection{Σχήμα 5} 203 204 \begin{center} 205 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} 206 \hline 207 Αντίσταση (R) \% & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ 208 \hline 209 Ένταση (I) & -1,111 & -1,25 & -1,428 & -1,666 & -2 & -2,5 & -3,333 & -5 & -10 & -75 \\ 210 \hline 211 \end{tabular} 212 \end{center} 213 214 \subsection{Ερώτηση 1} 215 \textit{Τί θα γίνει στο σχήμα 5 αν η μεταβλητή αντίσταση πάει στο 0\%; Υπολογίσατε το 216 ρεύμα που θα διαρρεύσει την αντίσταση. Υπάρχει τρόπος να επιλυθεί το συγκεκριμένο 217 πρόβλημα;} \\ 218 219 Απάντηση: Θα γίνει βραχυκύκλωμα επειδή δεν θα υπάρχει καθόλου αντίσταση. Βραχυκύκλωμα 220 συμβαίνει γενικότερα όταν υπάρχει ωμική αντίσταση μηδενικής τιμής ή 221 άπειρης αγωγιμότητας \cite{papadopoulos}. Προκειμένου να λυθεί αυτό το πρόβλημα, πρέπει 222 να συνδέσουμε άλλη μία αντίσταση ώστε να αποτρέψει το βραχυκύκλωμα σε περίπτωση που η 223 μεταβλητή αντίσταση πάει στο 0\%. 224 225 \subsection{Ερώτηση 2} 226 \textit{Η μέτρηση της τάσης στο σχήμα 3, θα ήταν ορθότερο να περιλαμβάνει την πτώση 227 τάσης στα άκρα της αντίστασης και του αμπερομέτρου; Δικαιολογήστε.} \\ 228 229 Απάντηση: Ναι, θα ήταν ορθότερο η μέτρηση να περιλαμβάνει την πτώση τάσης στα άκρα 230 της αντίστασης διότι το αμπερόμετρο, παρ'όλο που είναι σχεδιασμένο για όσο μικρότερη 231 πτώση τάσης, δεν προσφέρει μηδενική πτώση, οπότε αυτό σημαίνει ότι συνδέοντάς το θα 232 υπάρξει έστω και μικρή πτώση τάσης, και έτσι αν δεν την έχουμε υπολογίσει 233 είναι πιθανό να μην έχουμε όση ακρίβεια θα θέλαμε στα αποτελέσματά μας. 234 235 \subsection{Ερώτηση 3} 236 \textit{Θεωρήστε διαιρέτη τάσης, όπως στο σχήμα 4, με $R_1 = R_2 = \si{1\kohm}$. 237 Συνδέουμε φορτίο $R_L = \si{10\ohm}$. Τί θα συμβεί; Προτείνετε τρόπο επίλυσης.} \\ 238 239 Απάντηση: Συνδέοντας φορτίο $R_L = \si{10\ohm}$ στον διαιρέτη τάσης \cite{harvard} 240 θα έχουμε πολύ μεγάλη πτώση τάσης. Ένας τρόπος επίλυσης είναι να συνδέσουμε αρκετά 241 μεγαλύτερο φορτίο $R_L$. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αυξάνοντας την τιμή της αντίστασης 242 του φορτίου $R_L$. 243 244 \renewcommand\refname{Πηγές} 245 \printbibliography 246 \end{document}