dl1.tex (17504B)
1 \documentclass{article} 2 \usepackage[utf8]{inputenc} 3 \usepackage[greek,english]{babel} 4 \usepackage{alphabeta} 5 \usepackage{fancyhdr} 6 \usepackage{listings} 7 \usepackage{mathtools} 8 \usepackage{siunitx} 9 \usepackage{xcolor} 10 \usepackage{graphicx} 11 \usepackage{pgfplots} 12 \usepackage[export]{adjustbox} 13 \usepackage{biblatex} 14 \addbibresource{dl1-citations.bib} 15 16 %\pagestyle{fancy} 17 %\renewcommand\headrulewidth{0pt} 18 %\fancyhead{} 19 %\fancyfoot{} 20 %\fancyfoot[R]{\thepage} 21 22 \title{Εργαστηριακή Εργασία 1 - Λογικές Πύλες} 23 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133 \\ Τμήμα 8} 24 \date{Ιούνιος 2020} 25 26 \begin{document} 27 28 \begin{figure}[t!] 29 \centering 30 \includegraphics[scale=0.3, center]{./res/Logo_University_of_West_Attica.png} 31 \Large 32 \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\ 33 \large 34 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών \\ 35 Ψηφιακή Σχεδίαση 36 \end{figure} 37 \begin{figure}[b] 38 \centering 39 \includegraphics[scale=1]{./res/19390133.jpeg} 40 \end{figure} 41 42 \begin{titlepage} 43 \maketitle 44 \end{titlepage} 45 46 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα} 47 \tableofcontents 48 49 \renewcommand{\abstractname}{Εισαγωγή} 50 \begin{abstract} 51 Το αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση των λογικών πυλών, 52 καθυστέρησης διάδοσης, μεγίστων/ελαχίστων επιτρεπόμενων ορίων τάσεων και ρευμάτων 53 εισόδων/εξόδων, καθώς και της ικανότητας οδήγησης. 54 \end{abstract} 55 \pagebreak 56 57 \section{Συλλογή βιβλιογραφίας} 58 Η βιβλιογραφία που χρησιμποιήθηκε, αν και μικρή, κάλυψε τα βασικά προβλήματα της εργασίας. 59 Από την βιβλιογραφία πήρα πληροφορίες για την συμπεριφορά των λογικών πυλών. 60 61 \section{Περιγραφή υλοποίησης} 62 Για την υλοποίηση της εργασίας και βασισμένος στην παραπάνω βιβλιογραφία που συλλέχθηκε, 63 χρησιμποιήσα λογικές πύλες και εξισώσεις, πίνακες αλήθειας, καθώς και παλμογράφο για διάφορες 64 μετρήσεις. 65 66 \section{Θεωρητικό μέρος} 67 Λογικές πύλες είναι ψηφιακά κυκλώματα, τα οποία δέχονται μία ή παραπάνω δυαδικές 68 εισόδους και παράγουν μια δυαδική έξοδο. Τέτοιου είδους κυκλώματα τα περιγράφουμε με 69 την χρήση πινάκων αλήθειας και της άλγεβρας Boole. Οι λογικές πύλες με τις οποίες 70 θα ασχοληθούμε σε αυτή την εργασία είναι οι AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR και NOT, 71 των οποίων η λειτουργία θα αναλυθεί στα αντίστοιχα κομμάτια \cite{efstathiou}. 72 73 \section{Εργαστηριακό μέρος} 74 \subsection{Πύλη AND} 75 \subsubsection{Περιγραφή} 76 77 Η πύλη AND δέχεται ως είσοδο δύο ή παραπάνω τιμές και παράγει έξοδο 1 μόνο αν 78 όλες οι είσοδοί της έχουν τιμή 1. Ο παρακάτω πίνακα αληθείας περιγράφει όλες 79 τις πιθανές καταστάσεις της πύλης AND. 80 81 \begin{center} 82 \begin{tabular}{|c|c|c|} 83 \hline 84 A & B & F \\ 85 \hline 86 0 & 0 & 0 \\ 87 0 & 1 & 0 \\ 88 1 & 0 & 0 \\ 89 1 & 1 & 1 \\ 90 \hline 91 \end{tabular} 92 \end{center} 93 94 Η λογική εξίσωση της AND είναι $F = AB$ 95 96 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 97 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/and.png} 98 99 Στο παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε οτι τα LED που είναι συνδεδεμένα στις εισόδους 100 και στην έξοδο ανάβουν μόνο όταν ο διακόπτης είναι ανοιχτός, το οποίο μπορεί να 101 μεταφραστεί σε είσοδο 1. Στην συγκεκριμένη εικόνα ο μόνος διακόπτης ο οποίος είναι 102 ανοιχτός είναι αυτός της κάτω εισόδου, οπότε και το μοναδικό LED που θα ανάψει 103 είναι το LED\_B. 104 Με βάση τον πίνακα αλήθειας της AND, αυτή είναι η περίπτωση που μόνο μία είσοδος είναι 105 1, το οποίο σημαίνει οτι ο διακόπτης της εξόδου δεν μπορεί να ανάψει, εφόσον δεν είναι 106 και οι δύο είσοδοι 1. 107 108 \subsection{Πύλη OR} 109 \subsubsection{Περιγραφή} 110 111 Η πύλη OR δέχεται ως είσοδο δύο ή παραπάνω τιμές και παράγει έξοδο 1 όταν τουλάχιστον 112 μία από τις εισόδους είναι 1. Ο παρακάτω πίνακα αληθείας περιγράφει όλες τις πιθανές 113 καταστάσεις της πύλης OR. 114 115 \begin{center} 116 \begin{tabular}{|c|c|c|} 117 \hline 118 A & B & F \\ 119 \hline 120 0 & 0 & 0 \\ 121 0 & 1 & 1 \\ 122 1 & 0 & 1 \\ 123 1 & 1 & 1 \\ 124 \hline 125 \end{tabular} 126 \end{center} 127 128 Η λογική εξίσωση της OR είναι $F = A + B$ 129 130 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 131 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/or.png} 132 133 Όπως παρατηρούμε στο παραπάνω κύκλωμα, η πύλη OR δίνει έξοδο 1, και έτσι, το LED 134 που είναι συνδεδεμένο στην έξοδο ανάβει. Αυτό συμβαίνει γιατί στην προκειμένη 135 περίπτωση και οι δύο είσοδοι είναι 1. Η μοναδική περίπτωση για να μην ανάψει το LED 136 θα ήταν να είναι και οι δύο είσοδοι 0. 137 138 \subsection{Πύλη NAND} 139 \subsubsection{Περιγραφή} 140 141 Η πύλη NAND δέχεται δύο ή παραπάνω εισόδους και παράγει έξοδο 1 μόνο όταν και οι 142 δύο είσοδοι είναι 1. Η NAND, λόγω του ότι έχει συνδεδεμένη μία πύλη NOT στην έξοδό 143 της, αντιστρέφει οποιαδήποτε έξοδο θα παρήγαγε η AND. Ο παρακάτω πίνακα αληθείας 144 περιγράφει όλες τις πιθανές καταστάσεις της πύλης NAND. 145 146 \begin{center} 147 \begin{tabular}{|c|c|c|} 148 \hline 149 A & B & F \\ 150 \hline 151 0 & 0 & 1 \\ 152 0 & 1 & 1 \\ 153 1 & 0 & 1 \\ 154 1 & 1 & 0 \\ 155 \hline 156 \end{tabular} 157 \end{center} 158 159 Η λογική εξίσωση της NAND είναι $F = \overline{AB}$ 160 161 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 162 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/nand.png} 163 164 Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι και οι δύο είσοδοι είναι 1, το οποίο με βάση 165 τον πίνακα αλήθειας της NAND είναι η μοναδική περίπτωση στην οποία η έξοδος είναι 0. 166 Έτσι, το LED σε αυτή την περίπτωση δεν ανάβει. 167 168 \subsection{Πύλη NOR} 169 \subsubsection{Περιγραφή} 170 171 Η πύλη NOR δέχεται δύο ή παραπάνω εισόδους και παράγει έξοδο 1 μόνο όταν και οι δύο 172 είσοδοί της είναι 0. H NOR παράγει την ακριβώς αντίθετη έξοδο από αυτή της OR λόγω της 173 πύλης ΝΟΤ που είναι συνδεδεμένη στην έξοδό της. Ο παρακάτω πίνακα αληθείας περιγράφει 174 όλες τις πιθανές καταστάσεις της πύλης NOR. 175 176 \begin{center} 177 \begin{tabular}{|c|c|c|} 178 \hline 179 A & B & F \\ 180 \hline 181 0 & 0 & 1 \\ 182 0 & 1 & 0 \\ 183 1 & 0 & 0 \\ 184 1 & 1 & 0 \\ 185 \hline 186 \end{tabular} 187 \end{center} 188 189 Η λογική εξίσωση της NOR είναι $F = \overline{A + B}$ 190 191 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 192 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/nor.png} 193 194 Στο παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε ότι και οι δύο είσοδοι είναι 1, το οποίο με βάση 195 τον πίνακα αλήθειας της NOR σημαίνει ότι πρόκειται για την μοναδική περίπτωση που 196 η NOR θα παράξει έξοδο 0. Για αυτό τον λόγο το LED δεν ανάβει. 197 198 \subsection{Πύλη XOR} 199 \subsubsection{Περιγραφή} 200 201 H πύλη XOR δέχεται δύο ή παραπάνω εισόδους και παράγει έξοδο 1 μόνο όταν μία από τις 202 εισόδους της έχει τιμή 1. Ο παρακάτω πίνακας αληθείας περιγράφει όλες 203 τις πιθανές καταστάσεις της πύλης XOR. 204 205 \begin{center} 206 \begin{tabular}{|c|c|c|} 207 \hline 208 A & B & F \\ 209 \hline 210 0 & 0 & 0 \\ 211 0 & 1 & 1 \\ 212 1 & 0 & 1 \\ 213 1 & 1 & 0 \\ 214 \hline 215 \end{tabular} 216 \end{center} 217 218 Η λογική εξίσωση της XOR είναι $F = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B}$ 219 220 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 221 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/xor.png} 222 223 Στο παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε ότι μόνο η μία από τις δύο εισόδους είναι 1, το οποίο 224 σημαίνει οτι πρόκειται για την περίπτωση που η XOR παράγει έξοδο 1. Για αυτό τον λόγο 225 ανάβει το LED που βρίσκεται στην έξοδο της XOR. 226 227 \subsection{Πύλη XNOR} 228 \subsubsection{Περιγραφή} 229 230 Η πύλη XNOR δέχεται δύο ή παραπάνω εισόδους και παράγει έξοδο 1 μόνο όταν οι είσοδοι 231 έχουν την ίδια τιμή. Η XNOR παράγει τις ακριβώς αντίθετες τιμές από αυτές που θα 232 παρήγαγε η XOR λόγω της πύλης NOT που είναι συνδεδεμένη στην έξοδό της. Ο παρακάτω 233 πίνακας αληθείας περιγράφει όλες τις πιθανές καταστάσεις της πύλης XNOR. 234 235 \begin{center} 236 \begin{tabular}{|c|c|c|} 237 \hline 238 A & B & F \\ 239 \hline 240 0 & 0 & 1 \\ 241 0 & 1 & 0 \\ 242 1 & 0 & 0 \\ 243 1 & 1 & 1 \\ 244 \hline 245 \end{tabular} 246 \end{center} 247 248 Η λογική εξίσωση της XNOR είναι $F = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{AB}$ 249 250 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 251 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/xnor.png} 252 253 Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι και οι δύο είσοδοι είναι ίδιας τιμής, στην 254 προκειμένη περίπτωση 1, το οποίο σημαίνει οτι η έξοδος της XNOR θα είναι επίσης 1. 255 Για τον λόγο αυτό ανάβει το LED στην έξοδο της XNOR. 256 257 \subsection{Πύλη NOT} 258 \subsubsection{Περιγραφή} 259 260 Η πύλη NOT δέχεται μία είσοδο και αντιστρέφει την τιμή της. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει 261 τις δύο πιθανές καταστάσεις που μπορούν να υπάρξουν. 262 263 \begin{center} 264 \begin{tabular}{|c|c|c|} 265 \hline 266 A & F \\ 267 \hline 268 0 & 1 \\ 269 1 & 0 \\ 270 \hline 271 \end{tabular} 272 \end{center} 273 274 Η λογική εξίσωση της NOT είναι $F = \overline{A}$ 275 276 \subsubsection{Εφαρμογή στο Multisim} 277 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/not.png} 278 279 Στο παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε ότι η είσοδος είναι 0 και έτσι η NOT θα την 280 αντιστρέψει σε 1, και έτσι το LED θα ανάψει στην έξοδο της NOT. 281 282 \subsection{Έλεγχος ψηφιακών σημάτων από πύλες} 283 284 \begin{itemize} 285 \item 286 Πύλη AND \\ 287 \[A = 0 \Rightarrow F = 0\] 288 \[A = 1 \Rightarrow F = B\] 289 290 Με βάση τον πίνακα αλήθειας της AND, αν η είσοδος Α είναι 0, τότε η έξοδος F 291 θα είναι πάντα 0, ασχέτως της τιμής του Β. Στην περίπτωση που το Α είναι 1, τότε 292 η έξοδος είναι πάντα η ίδια με την τιμή του Β. 293 294 Χρησιμοποιώντας την λογική εξίσωση της AND βλέπουμε ότι οι παραπάνω παραστάσεις 295 επαληθεύονται αν θέσουμε τιμές στο Α. \\ 296 297 Για $A = 0$: 298 \[F = AB \Rightarrow F = 0 \cdot B \Rightarrow F = 0\] 299 300 Για $A = 1$: 301 \[F = AB \Rightarrow F = 1 \cdot B \Rightarrow F = B\] 302 303 \item 304 Πύλη OR 305 \[A = 0 \Rightarrow F = B\] 306 \[A = 1 \Rightarrow F = 1\] 307 308 Από την λογική εξίσωση της OR έχουμε ότι \\ 309 310 Για $A = 0$: 311 \[F = A + B \Rightarrow F = 0 + B \Rightarrow F = B\] 312 313 Για $A = 1$: 314 \[F = A + B \Rightarrow F = 1 + B \Rightarrow F = 1\] 315 316 \item 317 Πύλη NAND 318 \[A = 0 \Rightarrow F = 1\] 319 \[A = 1 \Rightarrow F = \overline{B}\] 320 321 Από την λογική εξίσωση της NAND έχουμε ότι \\ 322 323 Για $A = 0$: 324 \[F = \overline{AB} \Rightarrow F = \overline{0 \cdot B} \Rightarrow 325 F = 1 \cdot B \Rightarrow F = 1\] 326 327 Για $A = 1$: 328 \[F = \overline{AB} \Rightarrow F = \overline{1 \cdot B} \Rightarrow 329 F = 0 \cdot B \Rightarrow F = \overline{B}\] 330 331 \item 332 Πύλη NOR 333 \[A = 0 \Rightarrow F = \overline{B}\] 334 \[A = 1 \Rightarrow F = 0\] 335 336 Από την λογική εξίσωση της NOR έχουμε ότι \\ 337 338 Για $A = 0$: 339 \[F = \overline{A + B} \Rightarrow\] 340 Θεώρημα DeMorgan 341 \[F = \overline{A} \cdot \overline{B} \Rightarrow F = \overline{0} 342 \cdot \overline{B} \Rightarrow 343 F = 1 \cdot \overline{B} \Rightarrow F = \overline{B}\] 344 345 Για $A = 1$: 346 \[F = \overline{A + B} \Rightarrow\] 347 Θεώρημα DeMorgan 348 \[F = \overline{A} \cdot \overline{B} \Rightarrow F = \overline{1} 349 \cdot \overline{B} \Rightarrow 350 F = 0 \cdot \overline{B} \Rightarrow F = 0\] 351 352 \item 353 Πύλη XOR 354 \[A = 0 \Rightarrow F = B\] 355 \[A = 1 \Rightarrow F = \overline{B}\] 356 357 Από την λογική εξίσωση της XOR έχουμε ότι \\ 358 359 Για $A = 0$: 360 \[F = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B} \Rightarrow 361 F = \overline{0} \cdot B + 0 \cdot \overline{B} \Rightarrow\] 362 \[F = 1 \cdot B + 0 \cdot \overline{B} \Rightarrow 363 F = B + 0 \Rightarrow F = B\] 364 365 Για $A = 1$: 366 \[F = A \oplus B = \overline{A}B + A\overline{B} \Rightarrow 367 F = \overline{1} \cdot B + 1 \cdot \overline{B} \Rightarrow\] 368 \[F = 0 \cdot B + 1 \cdot \overline{B} \Rightarrow 369 F = 0 + \overline{B} \Rightarrow F = \overline{B}\] 370 371 \item 372 Πύλη XNOR 373 \[A = 0 \Rightarrow F = \overline{B}\] 374 \[A = 1 \Rightarrow F = B\] 375 376 \[A \neq 0 \Rightarrow F = 0\] 377 \[A = 1 \Rightarrow F = 1\] 378 379 Από την λογική εξίσωση της XNOR έχουμε ότι \\ 380 381 Για $A = 0$: 382 \[F = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{AB} \Rightarrow\] 383 Θεώρημα DeMorgan 384 \[F = AB + \overline{A} + \overline{B} \Rightarrow 385 F = 0 \cdot B + \overline{0} + \overline{B} \Rightarrow\] 386 \[F = 0 + 1 + \overline{B} \Rightarrow F = (0 + 1) + \overline{B} 387 \Rightarrow\] 388 \[F = 1 + \overline{B} \Rightarrow F = \overline{B}\] 389 390 Για $A = 1$: 391 \[F = \overline{A \oplus B} = AB + \overline{AB} \Rightarrow\] 392 Θεώρημα DeMorgan 393 \[F = AB + \overline{A} + \overline{B} \Rightarrow 394 F = 1 \cdot B + \overline{1} + \overline{B} \Rightarrow\] 395 \[F = B + 0 + \overline{B} \Rightarrow F = (B + 0) + \overline{B} 396 \Rightarrow\] 397 \[F = B + \overline{B} \Rightarrow F = B\] 398 \end{itemize} 399 400 Πράγματι, τα παραπάνω αποτελέσματα επαληθεύονται και πειραματικά στο Multisim για 401 τα αντίστοιχα κυκλώματα, αλλά για λόγους χωρητικτότητας δεν μπορύν να υπάρχουν εικόνες 402 από το κάθε κύκλωμα. 403 404 \subsection{Καθυστέρηση διάδοσης} 405 406 Βάσει των μετρήσεων έχουμε ότι \\ 407 \[t'_{PLH} = \si{56,818\ns}\] 408 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/tplh.png} 409 και 410 \[t'_{PHL} = \si{75,758\ns}\] 411 \includegraphics[width=\textwidth]{./res/tphl.png} \\ 412 413 Για κάθε πύλη AND οι χρόνοι καθυστέρησης είναι \\ 414 \[t_{PLH} = \frac{t'_{PLH}}{4} = \frac{\si{56,818\ns}}{4} = \si{14,205\ns}\] 415 \[t_{PHL} = \frac{t'_{PHL}}{4} = \frac{\si{75,288\ns}}{4} = \si{18,822\ns}\] 416 417 Ο μέσος χρόνος καθυστέρησης είναι \\ 418 \[t_{PAV} = \frac{t_{PHL} + t_{PLH}}{2} = \si{\frac{18,822 + 14,205}{2}\ns} = 419 \si{16,513\ns}\] \\ 420 421 Οπότε, ο πίνακας είναι 422 \begin{center} 423 \begin{tabular}{|c|c|} 424 \hline 425 $t'_{PLH}$ & $\si{56,818\ns}$ \\ 426 \hline 427 $t'_{PHL}$ & $\si{75,758\ns}$ \\ 428 \hline 429 $t_{PLH}$ & $\si{14,205\ns}$ \\ 430 \hline 431 $t_{PHL}$ & $\si{18,822\ns}$ \\ 432 \hline 433 $t_{PAV}$ & $\si{16,513\ns}$ \\ 434 \hline 435 \end{tabular} 436 \end{center} 437 438 \renewcommand\refname{Πηγές} 439 \printbibliography 440 \end{document}