uni

University stuff
git clone git://git.christosmarg.xyz/uni-assignments.git
Log | Files | Refs | README | LICENSE

doc.tex (12332B)


      1 \documentclass{article}
      2 \usepackage[utf8]{inputenc}
      3 \usepackage[greek,english]{babel} \usepackage{alphabeta}
      4 \usepackage{fancyhdr}
      5 \usepackage{listings}
      6 \usepackage{mathtools}
      7 \usepackage{xcolor}
      8 \usepackage{graphicx}
      9 \usepackage{float}
     10 \usepackage[backend=biber]{biblatex}
     11 
     12 \title{Σήματα και Συστήματα - Εργασία 2}
     13 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133}
     14 \date{Απρίλιος 2021}
     15 
     16 \begin{document}
     17 
     18 \begin{titlepage}
     19         \maketitle
     20         \begin{figure}[t!]
     21         \begin{center}
     22         \includegraphics[scale=0.3]{./res/uniwalogo.png} \\
     23         \Large
     24         \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\
     25         \large
     26         Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών
     27         \end{center}
     28         \end{figure}
     29 \end{titlepage}
     30 
     31 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα}
     32 \tableofcontents
     33 
     34 \section{'Ασκηση 1}
     35 
     36 \begin{itemize}
     37         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
     38                 \[x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)\]
     39 \end{itemize}
     40 
     41 Αρχικά ορίζουμε ένα χρονικό διάστημα $t$ - θα το ορίσουμε από το -5 εώς το 10:
     42 \begin{lstlisting}[language=octave]
     43         octave> t = -5:0.1:10
     44 \end{lstlisting}
     45 
     46 Με τη χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} θα υπολογίσουμε τις
     47 τιμές των συναρτήσεων $u(t + 1)$, $u(t - 2)$ και $u(t + 4)$. Μπορούμε
     48 για κάθε συνάρτηση να αποθηκεύσουμε την έξοδό της \lstinline{heaviside()}
     49 σε μία προσωρινή μεταβλητή, αλλά για μεγαλύτερη άνεση και εξοικονόμιση
     50 χρόνου θα αποθηκεύσουμε τα πάντα κατευθείαν στο $x$:
     51 \begin{lstlisting}[language=octave]
     52         octave> x = heaviside(t+1)-heaviside(t-2)+heaviside(t+4)
     53 \end{lstlisting}
     54 
     55 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$
     56 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης:
     57 \begin{lstlisting}[language=octave]
     58         octave> plot(t, x)
     59         octave> xlim([-5 10])
     60 \end{lstlisting}
     61 
     62 \begin{figure}[H]
     63         \centering
     64         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig2.png}
     65         \caption{$x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)$ με τη χρήση της
     66                 \lstinline{heaviside()}}
     67 \end{figure}
     68 
     69 \section{'Ασκηση 2}
     70 
     71 \begin{itemize}
     72         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
     73                 \[x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))\]
     74 \end{itemize}
     75 
     76 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα το χρονικό διάστημα $t$ από από το -5 ως το 10:
     77 \begin{lstlisting}[language=octave]
     78         octave> t = -5:0.1:10
     79 \end{lstlisting}
     80 
     81 Για να υπολογίσουμε τις τιμές των μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων $u(t)$
     82 και $u(t - 3)$ θα χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν την συνάρτηση 
     83 \lstinline{heaviside()}:
     84 \begin{lstlisting}[language=octave]
     85         octave> x = t.*sin(2*pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-3))
     86 \end{lstlisting}
     87 
     88 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$
     89 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης:
     90 \begin{lstlisting}[language=octave]
     91         octave> plot(t, x)
     92         octave> xlim([-5 10])
     93 \end{lstlisting}
     94 
     95 \begin{figure}[H]
     96         \centering
     97         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig3.png}
     98         \caption{$x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))$}
     99 \end{figure}
    100 
    101 \section{'Ασκηση 3}
    102 
    103 \begin{itemize}
    104         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
    105                 \[x(t) = t^3 \cos(10\pi t)p 2(t - 1)\]
    106                 όπου $pT(t)$ τετραγωνικός παλμός διάρκειας $T$.
    107 \end{itemize}
    108 
    109 Ο τετραγωνικός παλμός $pT(t)$ ορίζεται ως
    110 \[pT(t) = u(t + \frac{T}{2}) - u(t - \frac{T}{2})\]
    111 Οπότε, με βάση την εκφώνηση και τον παραπάνω τύπο έχουμε ότι:
    112 \[p2(t - 1) \Rightarrow u(t - 1 + \frac{2}{2}) - u(t - 1 - \frac{2}{2})
    113 \Rightarrow u(t - 1 + 1) - u(t - 1 - 1) \Rightarrow u(t) - u(t - 2)\]
    114 
    115 Τώρα, με την χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} μπορούμε να
    116 υπολογίσουμε τις τιμές του τετραγωνικού παλμού $p2(t - 1)$:
    117 \begin{lstlisting}[language=octave]
    118         octave> p = heaviside(t)-heaviside(t-2)
    119 \end{lstlisting}
    120 
    121 'Εχοντας το $p2(t - 1)$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και να σχεδιάσουμε
    122 το σήμα $x(t)$. Επίσης θα τροποποιήσουμε τον άξονα $x$ ώστε να εμφανιστεί
    123 πιο καθαρά η γραφική παράσταση:
    124 \begin{lstlisting}[language=octave]
    125         octave> x = t.^3.*cos(10*pi*t).*p
    126         octave> plot(t, x)
    127         octave> xlim([-5 10])
    128 \end{lstlisting}
    129 
    130 \begin{figure}[H]
    131         \centering
    132         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig4.png}
    133         \caption{$x(t) = t^3cos(10\pi t)p2(t - 1)$}
    134 \end{figure}
    135 
    136 \section{'Ασκηση 4}
    137 
    138 \begin{itemize}
    139         \item Να εκφταστεί και να σχεδιαστεί το σήμα (φυλλάδιο εργασίας
    140                 σελίδα 28) ως άθροισμα μόνο συναρτήσεων ράμπας.
    141 \end{itemize}
    142 
    143 Η συνάρτηση ράμπας ορίζεται ως:
    144 \[r(t) = tu(t)\]
    145 Στο Octave, αυτό υπολογίζεται ως:
    146 \begin{lstlisting}[language=octave]
    147         octave> r = t.*heaviside(t)
    148 \end{lstlisting}
    149 Οπότε θα φτιάξουμε μία συνάρτηση - θα την ονομάσουμε \lstinline{ramp} -
    150 η οποία θα υπολογίζει την συνάρτηση ράμπας. Η συνάρτηση θα δέχεται
    151 ως όρισμα ένα $t$ και θα επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης $r(t)$:
    152 \begin{lstlisting}[language=octave]
    153         function r = ramp(t)
    154                 r = t.*heaviside(t)
    155         endfunction
    156 \end{lstlisting}
    157 
    158 Το σήμα που ζητάει η εκφώνηση εκφράζεται ως
    159 \[x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)\]
    160 και το χρονικό διάστημα είναι το $t = [-2,3]$. Οπότε:
    161 \begin{lstlisting}[language=octave]
    162         octave> t = -2:0.1:3
    163         octave> r = ramp(t)-ramp(t-1)-ramp(t-2)
    164         octave> plot(t, r)
    165         octave> ylim([-0.3 1.3])
    166 \end{lstlisting}
    167 
    168 \begin{figure}[H]
    169         \centering
    170         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig7.png}
    171         \caption{$x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)$}
    172 \end{figure}
    173 
    174 \section{'Ασκηση 5}
    175 
    176 \begin{itemize}
    177         \item Δίνεται το σήμα
    178                 \[x(t) = te^{-t}, 0 \leq t \leq 5\]
    179                 Να σχεδιαστούν:
    180         \begin{itemize}
    181                 \item Το σήμα $x(t)$
    182                 \item Το άρτιο σήμα $x_e(t)$ του $x(t)$
    183                 \item Το περιττό σήμα $x_o(t)$ του $x(t)$
    184                 \item Το άθροισμα $x_e(t) + x_o(t)$
    185         \end{itemize}
    186 \end{itemize}
    187 
    188 Θα σχεδιάσουμε τα τέσσερα ζητούμενα σήματα στο ίδιο παράθυρο με την
    189 χρήση της συνάρτησης \lstinline{subplot()}.
    190 
    191 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα $t = [0, 5]$:
    192 \begin{lstlisting}[language=octave]
    193         octave> t = 0:0.1:5
    194 \end{lstlisting}
    195 
    196 Υπολογίζουμε τις τιμές του σήματος $x(t) = te^{-t}$ και σχεδιάζουμε το σήμα.
    197 Σε όλα τα σήματα που θα σχεδιάσουμε θα τους δώσουμε και επίσης και έναν τίτλο
    198 ώστε να μπορούμε να ξεχωρίσουμε σε ποιο σήμα αντιστοιχεί η κάθε γραφική
    199 παράσταση:
    200 \begin{lstlisting}[language=octave]
    201         octave> x = t.*exp(-t)
    202         octave> sublot(2, 2, 1)
    203         octave> plot(t, x)
    204         octave> title("x(t) = t.*exp(-t)")
    205 \end{lstlisting}
    206 
    207 Το άρτιο μέρος ενός σήματος ορίζεται ως:
    208 \[x_e(t) = \frac{1}{2}(x(t) + x(-t))\]
    209 και το περιττό μέρος ως:
    210 \[x_o(t) = \frac{1}{2}(x(t) - x(t))\]
    211 Για να υπολογίσουμε το $x(-t)$ θα μπορούσαμε να φτιάξουμε μία νέα μεταβλητή
    212 $-t$ η οποία θα κρατάει το διάστημα χρόνου αντιστραμένο - δηλαδή
    213 $-t = [-5, 0]$ - αλλά το Octave παρέχει την συνάρτηση \lstinline{fliplr()}
    214 η οποία μπορεί να αντιστρέψει ένα διάνυσμα. Το αποτέλεσμα της
    215 \lstinline{fliplr()} θα το αποθηκεύσουμε στο διάνυσμα \lstinline{xrev}
    216 ώστε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του αρτίου και περιττού
    217 σήματος:
    218 \begin{lstlisting}[language=octave]
    219         octave> xrev = fliplr(x)
    220         octave> xe = 0.5*(x + xrev)
    221         octave> xo = 0.5*(x - xrev)
    222         octave> subplot(2, 2, 2)
    223         octave> plot(t, xe)
    224         octave> title("x_{even}")
    225         octave> subplot(2, 2, 3)
    226         octave> plot(t, xo)
    227         octave> title("x_{odd}")
    228 \end{lstlisting}
    229 
    230 Για τον υπολογισμό του αθροίσματος, απλώς προσθέτουμε τα σήματα
    231 $x_e(t)$ και $x_o(t)$ που υπολογίσαμε παραπάνω.
    232 \begin{lstlisting}[language=octave]
    233         octave> xeo = xe + xo
    234         octave> subplot(2, 2, 4)
    235         octave> plot(t, xeo)
    236         octave> title("x_{eo}")
    237 \end{lstlisting}
    238 
    239 Παρατηρούμε ότι ισχύει
    240 \[x(t) = x_e + x_o\]
    241 δηλαδή το άθροισμα του αρτίου και του περιττού σήματος είναι ίσο
    242 με το αρχικό σήμα $x(t)$:
    243 \begin{figure}[H]
    244         \centering
    245         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig5.png}
    246         \caption{$x(t)$, $x_e(t)$, $x_o(t)$, $x_e(t) + x_o(t)$}
    247 \end{figure}
    248 
    249 \section{'Ασκηση 6}
    250 
    251 \begin{itemize}
    252         \item 'Εστω το σήμα
    253                 \[x(t) = t\cos(2\pi t), 0 \leq t \leq 5\]
    254                 Να σχεδιάσετε τα σήματα:
    255         \begin{itemize}
    256                 \item $x(t)$
    257                 \item $x(-t)$
    258                 \item $x(t/5)$
    259                 \item $x(1 + 3t)$
    260                 \item $x(-1 - 3t)$
    261         \end{itemize}
    262 \end{itemize}
    263 
    264 \begin{lstlisting}[language=octave]
    265         octave> t = 0:0.1:5
    266         octave> x1 = t.*cos(2*pi*t)
    267         octave> x2 = -x1
    268         octave> x3 = (t/5).*cos(2*pi*(t/5))
    269         octave> x4 = (1 + 3*t).*cos(2*pi*(1 + 3*t))
    270         octave> x5 = -x4
    271         octave> subplot(3, 2, 1)
    272         octave> plot(t, x1)
    273         octave> title("x(t)")
    274         octave> subplot(3, 2, 2)
    275         octave> plot(t, x2)
    276         octave> title("x(-t)")
    277         octave> subplot(3, 2, 3)
    278         octave> plot(t, x3)
    279         octave> title("x(t/5)")
    280         octave> subplot(3, 2, 4)
    281         octave> plot(t, x4)
    282         octave> title("x(1+3*t)")
    283         octave> subplot(3, 2, 5)
    284         octave> plot(t, x5)
    285         octave> title("x(-1-3*t)")
    286 \end{lstlisting}
    287 
    288 \begin{figure}[H]
    289         \centering
    290         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig6.png}
    291         \caption{$x(t)$, $x(-t)$, $x(t/5)$, $x(1+3t)$, $x(-1-3t)$}
    292 \end{figure}
    293 
    294 \pagebreak
    295 \section{Εργαλεία}
    296 Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την υλοποίηση αυτής της εργασίας ήτανε
    297 τα εξής:
    298 \begin{itemize}
    299         \item Περιβάλλον: GNU Octave 5.2.0
    300         \item Επιπλέον πακέτα:
    301         \begin{itemize}
    302                 \item \lstinline{octave-forge-symbolic}
    303                 \item \lstinline{octave-forge-signal}
    304         \end{itemize}
    305         \item Λειτουργικό σύστημα: FreeBSD 12.2
    306         \item Κειμενογράφος: Vim
    307         \item Μορφοποίηση κειμένου: \LaTeX
    308 \end{itemize}
    309 
    310 \end{document}