doc.tex (12332B)
1 \documentclass{article} 2 \usepackage[utf8]{inputenc} 3 \usepackage[greek,english]{babel} \usepackage{alphabeta} 4 \usepackage{fancyhdr} 5 \usepackage{listings} 6 \usepackage{mathtools} 7 \usepackage{xcolor} 8 \usepackage{graphicx} 9 \usepackage{float} 10 \usepackage[backend=biber]{biblatex} 11 12 \title{Σήματα και Συστήματα - Εργασία 2} 13 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133} 14 \date{Απρίλιος 2021} 15 16 \begin{document} 17 18 \begin{titlepage} 19 \maketitle 20 \begin{figure}[t!] 21 \begin{center} 22 \includegraphics[scale=0.3]{./res/uniwalogo.png} \\ 23 \Large 24 \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\ 25 \large 26 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 27 \end{center} 28 \end{figure} 29 \end{titlepage} 30 31 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα} 32 \tableofcontents 33 34 \section{'Ασκηση 1} 35 36 \begin{itemize} 37 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 38 \[x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)\] 39 \end{itemize} 40 41 Αρχικά ορίζουμε ένα χρονικό διάστημα $t$ - θα το ορίσουμε από το -5 εώς το 10: 42 \begin{lstlisting}[language=octave] 43 octave> t = -5:0.1:10 44 \end{lstlisting} 45 46 Με τη χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} θα υπολογίσουμε τις 47 τιμές των συναρτήσεων $u(t + 1)$, $u(t - 2)$ και $u(t + 4)$. Μπορούμε 48 για κάθε συνάρτηση να αποθηκεύσουμε την έξοδό της \lstinline{heaviside()} 49 σε μία προσωρινή μεταβλητή, αλλά για μεγαλύτερη άνεση και εξοικονόμιση 50 χρόνου θα αποθηκεύσουμε τα πάντα κατευθείαν στο $x$: 51 \begin{lstlisting}[language=octave] 52 octave> x = heaviside(t+1)-heaviside(t-2)+heaviside(t+4) 53 \end{lstlisting} 54 55 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$ 56 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης: 57 \begin{lstlisting}[language=octave] 58 octave> plot(t, x) 59 octave> xlim([-5 10]) 60 \end{lstlisting} 61 62 \begin{figure}[H] 63 \centering 64 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig2.png} 65 \caption{$x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)$ με τη χρήση της 66 \lstinline{heaviside()}} 67 \end{figure} 68 69 \section{'Ασκηση 2} 70 71 \begin{itemize} 72 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 73 \[x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))\] 74 \end{itemize} 75 76 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα το χρονικό διάστημα $t$ από από το -5 ως το 10: 77 \begin{lstlisting}[language=octave] 78 octave> t = -5:0.1:10 79 \end{lstlisting} 80 81 Για να υπολογίσουμε τις τιμές των μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων $u(t)$ 82 και $u(t - 3)$ θα χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν την συνάρτηση 83 \lstinline{heaviside()}: 84 \begin{lstlisting}[language=octave] 85 octave> x = t.*sin(2*pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-3)) 86 \end{lstlisting} 87 88 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$ 89 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης: 90 \begin{lstlisting}[language=octave] 91 octave> plot(t, x) 92 octave> xlim([-5 10]) 93 \end{lstlisting} 94 95 \begin{figure}[H] 96 \centering 97 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig3.png} 98 \caption{$x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))$} 99 \end{figure} 100 101 \section{'Ασκηση 3} 102 103 \begin{itemize} 104 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 105 \[x(t) = t^3 \cos(10\pi t)p 2(t - 1)\] 106 όπου $pT(t)$ τετραγωνικός παλμός διάρκειας $T$. 107 \end{itemize} 108 109 Ο τετραγωνικός παλμός $pT(t)$ ορίζεται ως 110 \[pT(t) = u(t + \frac{T}{2}) - u(t - \frac{T}{2})\] 111 Οπότε, με βάση την εκφώνηση και τον παραπάνω τύπο έχουμε ότι: 112 \[p2(t - 1) \Rightarrow u(t - 1 + \frac{2}{2}) - u(t - 1 - \frac{2}{2}) 113 \Rightarrow u(t - 1 + 1) - u(t - 1 - 1) \Rightarrow u(t) - u(t - 2)\] 114 115 Τώρα, με την χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} μπορούμε να 116 υπολογίσουμε τις τιμές του τετραγωνικού παλμού $p2(t - 1)$: 117 \begin{lstlisting}[language=octave] 118 octave> p = heaviside(t)-heaviside(t-2) 119 \end{lstlisting} 120 121 'Εχοντας το $p2(t - 1)$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και να σχεδιάσουμε 122 το σήμα $x(t)$. Επίσης θα τροποποιήσουμε τον άξονα $x$ ώστε να εμφανιστεί 123 πιο καθαρά η γραφική παράσταση: 124 \begin{lstlisting}[language=octave] 125 octave> x = t.^3.*cos(10*pi*t).*p 126 octave> plot(t, x) 127 octave> xlim([-5 10]) 128 \end{lstlisting} 129 130 \begin{figure}[H] 131 \centering 132 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig4.png} 133 \caption{$x(t) = t^3cos(10\pi t)p2(t - 1)$} 134 \end{figure} 135 136 \section{'Ασκηση 4} 137 138 \begin{itemize} 139 \item Να εκφταστεί και να σχεδιαστεί το σήμα (φυλλάδιο εργασίας 140 σελίδα 28) ως άθροισμα μόνο συναρτήσεων ράμπας. 141 \end{itemize} 142 143 Η συνάρτηση ράμπας ορίζεται ως: 144 \[r(t) = tu(t)\] 145 Στο Octave, αυτό υπολογίζεται ως: 146 \begin{lstlisting}[language=octave] 147 octave> r = t.*heaviside(t) 148 \end{lstlisting} 149 Οπότε θα φτιάξουμε μία συνάρτηση - θα την ονομάσουμε \lstinline{ramp} - 150 η οποία θα υπολογίζει την συνάρτηση ράμπας. Η συνάρτηση θα δέχεται 151 ως όρισμα ένα $t$ και θα επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης $r(t)$: 152 \begin{lstlisting}[language=octave] 153 function r = ramp(t) 154 r = t.*heaviside(t) 155 endfunction 156 \end{lstlisting} 157 158 Το σήμα που ζητάει η εκφώνηση εκφράζεται ως 159 \[x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)\] 160 και το χρονικό διάστημα είναι το $t = [-2,3]$. Οπότε: 161 \begin{lstlisting}[language=octave] 162 octave> t = -2:0.1:3 163 octave> r = ramp(t)-ramp(t-1)-ramp(t-2) 164 octave> plot(t, r) 165 octave> ylim([-0.3 1.3]) 166 \end{lstlisting} 167 168 \begin{figure}[H] 169 \centering 170 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig7.png} 171 \caption{$x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)$} 172 \end{figure} 173 174 \section{'Ασκηση 5} 175 176 \begin{itemize} 177 \item Δίνεται το σήμα 178 \[x(t) = te^{-t}, 0 \leq t \leq 5\] 179 Να σχεδιαστούν: 180 \begin{itemize} 181 \item Το σήμα $x(t)$ 182 \item Το άρτιο σήμα $x_e(t)$ του $x(t)$ 183 \item Το περιττό σήμα $x_o(t)$ του $x(t)$ 184 \item Το άθροισμα $x_e(t) + x_o(t)$ 185 \end{itemize} 186 \end{itemize} 187 188 Θα σχεδιάσουμε τα τέσσερα ζητούμενα σήματα στο ίδιο παράθυρο με την 189 χρήση της συνάρτησης \lstinline{subplot()}. 190 191 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα $t = [0, 5]$: 192 \begin{lstlisting}[language=octave] 193 octave> t = 0:0.1:5 194 \end{lstlisting} 195 196 Υπολογίζουμε τις τιμές του σήματος $x(t) = te^{-t}$ και σχεδιάζουμε το σήμα. 197 Σε όλα τα σήματα που θα σχεδιάσουμε θα τους δώσουμε και επίσης και έναν τίτλο 198 ώστε να μπορούμε να ξεχωρίσουμε σε ποιο σήμα αντιστοιχεί η κάθε γραφική 199 παράσταση: 200 \begin{lstlisting}[language=octave] 201 octave> x = t.*exp(-t) 202 octave> sublot(2, 2, 1) 203 octave> plot(t, x) 204 octave> title("x(t) = t.*exp(-t)") 205 \end{lstlisting} 206 207 Το άρτιο μέρος ενός σήματος ορίζεται ως: 208 \[x_e(t) = \frac{1}{2}(x(t) + x(-t))\] 209 και το περιττό μέρος ως: 210 \[x_o(t) = \frac{1}{2}(x(t) - x(t))\] 211 Για να υπολογίσουμε το $x(-t)$ θα μπορούσαμε να φτιάξουμε μία νέα μεταβλητή 212 $-t$ η οποία θα κρατάει το διάστημα χρόνου αντιστραμένο - δηλαδή 213 $-t = [-5, 0]$ - αλλά το Octave παρέχει την συνάρτηση \lstinline{fliplr()} 214 η οποία μπορεί να αντιστρέψει ένα διάνυσμα. Το αποτέλεσμα της 215 \lstinline{fliplr()} θα το αποθηκεύσουμε στο διάνυσμα \lstinline{xrev} 216 ώστε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του αρτίου και περιττού 217 σήματος: 218 \begin{lstlisting}[language=octave] 219 octave> xrev = fliplr(x) 220 octave> xe = 0.5*(x + xrev) 221 octave> xo = 0.5*(x - xrev) 222 octave> subplot(2, 2, 2) 223 octave> plot(t, xe) 224 octave> title("x_{even}") 225 octave> subplot(2, 2, 3) 226 octave> plot(t, xo) 227 octave> title("x_{odd}") 228 \end{lstlisting} 229 230 Για τον υπολογισμό του αθροίσματος, απλώς προσθέτουμε τα σήματα 231 $x_e(t)$ και $x_o(t)$ που υπολογίσαμε παραπάνω. 232 \begin{lstlisting}[language=octave] 233 octave> xeo = xe + xo 234 octave> subplot(2, 2, 4) 235 octave> plot(t, xeo) 236 octave> title("x_{eo}") 237 \end{lstlisting} 238 239 Παρατηρούμε ότι ισχύει 240 \[x(t) = x_e + x_o\] 241 δηλαδή το άθροισμα του αρτίου και του περιττού σήματος είναι ίσο 242 με το αρχικό σήμα $x(t)$: 243 \begin{figure}[H] 244 \centering 245 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig5.png} 246 \caption{$x(t)$, $x_e(t)$, $x_o(t)$, $x_e(t) + x_o(t)$} 247 \end{figure} 248 249 \section{'Ασκηση 6} 250 251 \begin{itemize} 252 \item 'Εστω το σήμα 253 \[x(t) = t\cos(2\pi t), 0 \leq t \leq 5\] 254 Να σχεδιάσετε τα σήματα: 255 \begin{itemize} 256 \item $x(t)$ 257 \item $x(-t)$ 258 \item $x(t/5)$ 259 \item $x(1 + 3t)$ 260 \item $x(-1 - 3t)$ 261 \end{itemize} 262 \end{itemize} 263 264 \begin{lstlisting}[language=octave] 265 octave> t = 0:0.1:5 266 octave> x1 = t.*cos(2*pi*t) 267 octave> x2 = -x1 268 octave> x3 = (t/5).*cos(2*pi*(t/5)) 269 octave> x4 = (1 + 3*t).*cos(2*pi*(1 + 3*t)) 270 octave> x5 = -x4 271 octave> subplot(3, 2, 1) 272 octave> plot(t, x1) 273 octave> title("x(t)") 274 octave> subplot(3, 2, 2) 275 octave> plot(t, x2) 276 octave> title("x(-t)") 277 octave> subplot(3, 2, 3) 278 octave> plot(t, x3) 279 octave> title("x(t/5)") 280 octave> subplot(3, 2, 4) 281 octave> plot(t, x4) 282 octave> title("x(1+3*t)") 283 octave> subplot(3, 2, 5) 284 octave> plot(t, x5) 285 octave> title("x(-1-3*t)") 286 \end{lstlisting} 287 288 \begin{figure}[H] 289 \centering 290 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig6.png} 291 \caption{$x(t)$, $x(-t)$, $x(t/5)$, $x(1+3t)$, $x(-1-3t)$} 292 \end{figure} 293 294 \pagebreak 295 \section{Εργαλεία} 296 Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την υλοποίηση αυτής της εργασίας ήτανε 297 τα εξής: 298 \begin{itemize} 299 \item Περιβάλλον: GNU Octave 5.2.0 300 \item Επιπλέον πακέτα: 301 \begin{itemize} 302 \item \lstinline{octave-forge-symbolic} 303 \item \lstinline{octave-forge-signal} 304 \end{itemize} 305 \item Λειτουργικό σύστημα: FreeBSD 12.2 306 \item Κειμενογράφος: Vim 307 \item Μορφοποίηση κειμένου: \LaTeX 308 \end{itemize} 309 310 \end{document}