uni

University stuff
git clone git://git.margiolis.net/uni.git
Log | Files | Refs | README | LICENSE

doc.tex (12332B)


      1 \documentclass{article}
      2 \usepackage[utf8]{inputenc}
      3 \usepackage[greek,english]{babel}
      4 \usepackage{alphabeta}
      5 \usepackage{fancyhdr}
      6 \usepackage{listings}
      7 \usepackage{mathtools}
      8 \usepackage{xcolor}
      9 \usepackage{graphicx}
     10 \usepackage{float}
     11 \usepackage[backend=biber]{biblatex}
     12 
     13 \title{Σήματα και Συστήματα - Εργασία 2}
     14 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133}
     15 \date{Απρίλιος 2021}
     16 
     17 \begin{document}
     18 
     19 \begin{titlepage}
     20         \maketitle
     21         \begin{figure}[t!]
     22         \begin{center}
     23         \includegraphics[scale=0.3]{./res/uniwalogo.png} \\
     24         \Large
     25         \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\
     26         \large
     27         Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών
     28         \end{center}
     29         \end{figure}
     30 \end{titlepage}
     31 
     32 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα}
     33 \tableofcontents
     34 
     35 \section{'Ασκηση 1}
     36 
     37 \begin{itemize}
     38         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
     39                 \[x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)\]
     40 \end{itemize}
     41 
     42 Αρχικά ορίζουμε ένα χρονικό διάστημα $t$ - θα το ορίσουμε από το -5 εώς το 10:
     43 \begin{lstlisting}[language=octave]
     44         octave> t = -5:0.1:10
     45 \end{lstlisting}
     46 
     47 Με τη χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} θα υπολογίσουμε τις
     48 τιμές των συναρτήσεων $u(t + 1)$, $u(t - 2)$ και $u(t + 4)$. Μπορούμε
     49 για κάθε συνάρτηση να αποθηκεύσουμε την έξοδό της \lstinline{heaviside()}
     50 σε μία προσωρινή μεταβλητή, αλλά για μεγαλύτερη άνεση και εξοικονόμιση
     51 χρόνου θα αποθηκεύσουμε τα πάντα κατευθείαν στο $x$:
     52 \begin{lstlisting}[language=octave]
     53         octave> x = heaviside(t+1)-heaviside(t-2)+heaviside(t+4)
     54 \end{lstlisting}
     55 
     56 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$
     57 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης:
     58 \begin{lstlisting}[language=octave]
     59         octave> plot(t, x)
     60         octave> xlim([-5 10])
     61 \end{lstlisting}
     62 
     63 \begin{figure}[H]
     64         \centering
     65         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig2.png}
     66         \caption{$x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)$ με τη χρήση της
     67                 \lstinline{heaviside()}}
     68 \end{figure}
     69 
     70 \section{'Ασκηση 2}
     71 
     72 \begin{itemize}
     73         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
     74                 \[x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))\]
     75 \end{itemize}
     76 
     77 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα το χρονικό διάστημα $t$ από από το -5 ως το 10:
     78 \begin{lstlisting}[language=octave]
     79         octave> t = -5:0.1:10
     80 \end{lstlisting}
     81 
     82 Για να υπολογίσουμε τις τιμές των μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων $u(t)$
     83 και $u(t - 3)$ θα χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν την συνάρτηση 
     84 \lstinline{heaviside()}:
     85 \begin{lstlisting}[language=octave]
     86         octave> x = t.*sin(2*pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-3))
     87 \end{lstlisting}
     88 
     89 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$
     90 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης:
     91 \begin{lstlisting}[language=octave]
     92         octave> plot(t, x)
     93         octave> xlim([-5 10])
     94 \end{lstlisting}
     95 
     96 \begin{figure}[H]
     97         \centering
     98         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig3.png}
     99         \caption{$x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))$}
    100 \end{figure}
    101 
    102 \section{'Ασκηση 3}
    103 
    104 \begin{itemize}
    105         \item Να σχεδιαστεί το σήμα
    106                 \[x(t) = t^3 \cos(10\pi t)p 2(t - 1)\]
    107                 όπου $pT(t)$ τετραγωνικός παλμός διάρκειας $T$.
    108 \end{itemize}
    109 
    110 Ο τετραγωνικός παλμός $pT(t)$ ορίζεται ως
    111 \[pT(t) = u(t + \frac{T}{2}) - u(t - \frac{T}{2})\]
    112 Οπότε, με βάση την εκφώνηση και τον παραπάνω τύπο έχουμε ότι:
    113 \[p2(t - 1) \Rightarrow u(t - 1 + \frac{2}{2}) - u(t - 1 - \frac{2}{2})
    114 \Rightarrow u(t - 1 + 1) - u(t - 1 - 1) \Rightarrow u(t) - u(t - 2)\]
    115 
    116 Τώρα, με την χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} μπορούμε να
    117 υπολογίσουμε τις τιμές του τετραγωνικού παλμού $p2(t - 1)$:
    118 \begin{lstlisting}[language=octave]
    119         octave> p = heaviside(t)-heaviside(t-2)
    120 \end{lstlisting}
    121 
    122 'Εχοντας το $p2(t - 1)$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και να σχεδιάσουμε
    123 το σήμα $x(t)$. Επίσης θα τροποποιήσουμε τον άξονα $x$ ώστε να εμφανιστεί
    124 πιο καθαρά η γραφική παράσταση:
    125 \begin{lstlisting}[language=octave]
    126         octave> x = t.^3.*cos(10*pi*t).*p
    127         octave> plot(t, x)
    128         octave> xlim([-5 10])
    129 \end{lstlisting}
    130 
    131 \begin{figure}[H]
    132         \centering
    133         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig4.png}
    134         \caption{$x(t) = t^3cos(10\pi t)p2(t - 1)$}
    135 \end{figure}
    136 
    137 \section{'Ασκηση 4}
    138 
    139 \begin{itemize}
    140         \item Να εκφταστεί και να σχεδιαστεί το σήμα (φυλλάδιο εργασίας
    141                 σελίδα 28) ως άθροισμα μόνο συναρτήσεων ράμπας.
    142 \end{itemize}
    143 
    144 Η συνάρτηση ράμπας ορίζεται ως:
    145 \[r(t) = tu(t)\]
    146 Στο Octave, αυτό υπολογίζεται ως:
    147 \begin{lstlisting}[language=octave]
    148         octave> r = t.*heaviside(t)
    149 \end{lstlisting}
    150 Οπότε θα φτιάξουμε μία συνάρτηση - θα την ονομάσουμε \lstinline{ramp} -
    151 η οποία θα υπολογίζει την συνάρτηση ράμπας. Η συνάρτηση θα δέχεται
    152 ως όρισμα ένα $t$ και θα επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης $r(t)$:
    153 \begin{lstlisting}[language=octave]
    154         function r = ramp(t)
    155                 r = t.*heaviside(t)
    156         endfunction
    157 \end{lstlisting}
    158 
    159 Το σήμα που ζητάει η εκφώνηση εκφράζεται ως
    160 \[x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)\]
    161 και το χρονικό διάστημα είναι το $t = [-2,3]$. Οπότε:
    162 \begin{lstlisting}[language=octave]
    163         octave> t = -2:0.1:3
    164         octave> r = ramp(t)-ramp(t-1)-ramp(t-2)
    165         octave> plot(t, r)
    166         octave> ylim([-0.3 1.3])
    167 \end{lstlisting}
    168 
    169 \begin{figure}[H]
    170         \centering
    171         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig7.png}
    172         \caption{$x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)$}
    173 \end{figure}
    174 
    175 \section{'Ασκηση 5}
    176 
    177 \begin{itemize}
    178         \item Δίνεται το σήμα
    179                 \[x(t) = te^{-t}, 0 \leq t \leq 5\]
    180                 Να σχεδιαστούν:
    181         \begin{itemize}
    182                 \item Το σήμα $x(t)$
    183                 \item Το άρτιο σήμα $x_e(t)$ του $x(t)$
    184                 \item Το περιττό σήμα $x_o(t)$ του $x(t)$
    185                 \item Το άθροισμα $x_e(t) + x_o(t)$
    186         \end{itemize}
    187 \end{itemize}
    188 
    189 Θα σχεδιάσουμε τα τέσσερα ζητούμενα σήματα στο ίδιο παράθυρο με την
    190 χρήση της συνάρτησης \lstinline{subplot()}.
    191 
    192 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα $t = [0, 5]$:
    193 \begin{lstlisting}[language=octave]
    194         octave> t = 0:0.1:5
    195 \end{lstlisting}
    196 
    197 Υπολογίζουμε τις τιμές του σήματος $x(t) = te^{-t}$ και σχεδιάζουμε το σήμα.
    198 Σε όλα τα σήματα που θα σχεδιάσουμε θα τους δώσουμε και επίσης και έναν τίτλο
    199 ώστε να μπορούμε να ξεχωρίσουμε σε ποιο σήμα αντιστοιχεί η κάθε γραφική
    200 παράσταση:
    201 \begin{lstlisting}[language=octave]
    202         octave> x = t.*exp(-t)
    203         octave> sublot(2, 2, 1)
    204         octave> plot(t, x)
    205         octave> title("x(t) = t.*exp(-t)")
    206 \end{lstlisting}
    207 
    208 Το άρτιο μέρος ενός σήματος ορίζεται ως:
    209 \[x_e(t) = \frac{1}{2}(x(t) + x(-t))\]
    210 και το περιττό μέρος ως:
    211 \[x_o(t) = \frac{1}{2}(x(t) - x(t))\]
    212 Για να υπολογίσουμε το $x(-t)$ θα μπορούσαμε να φτιάξουμε μία νέα μεταβλητή
    213 $-t$ η οποία θα κρατάει το διάστημα χρόνου αντιστραμένο - δηλαδή
    214 $-t = [-5, 0]$ - αλλά το Octave παρέχει την συνάρτηση \lstinline{fliplr()}
    215 η οποία μπορεί να αντιστρέψει ένα διάνυσμα. Το αποτέλεσμα της
    216 \lstinline{fliplr()} θα το αποθηκεύσουμε στο διάνυσμα \lstinline{xrev}
    217 ώστε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του αρτίου και περιττού
    218 σήματος:
    219 \begin{lstlisting}[language=octave]
    220         octave> xrev = fliplr(x)
    221         octave> xe = 0.5*(x + xrev)
    222         octave> xo = 0.5*(x - xrev)
    223         octave> subplot(2, 2, 2)
    224         octave> plot(t, xe)
    225         octave> title("x_{even}")
    226         octave> subplot(2, 2, 3)
    227         octave> plot(t, xo)
    228         octave> title("x_{odd}")
    229 \end{lstlisting}
    230 
    231 Για τον υπολογισμό του αθροίσματος, απλώς προσθέτουμε τα σήματα
    232 $x_e(t)$ και $x_o(t)$ που υπολογίσαμε παραπάνω.
    233 \begin{lstlisting}[language=octave]
    234         octave> xeo = xe + xo
    235         octave> subplot(2, 2, 4)
    236         octave> plot(t, xeo)
    237         octave> title("x_{eo}")
    238 \end{lstlisting}
    239 
    240 Παρατηρούμε ότι ισχύει
    241 \[x(t) = x_e + x_o\]
    242 δηλαδή το άθροισμα του αρτίου και του περιττού σήματος είναι ίσο
    243 με το αρχικό σήμα $x(t)$:
    244 \begin{figure}[H]
    245         \centering
    246         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig5.png}
    247         \caption{$x(t)$, $x_e(t)$, $x_o(t)$, $x_e(t) + x_o(t)$}
    248 \end{figure}
    249 
    250 \section{'Ασκηση 6}
    251 
    252 \begin{itemize}
    253         \item 'Εστω το σήμα
    254                 \[x(t) = t\cos(2\pi t), 0 \leq t \leq 5\]
    255                 Να σχεδιάσετε τα σήματα:
    256         \begin{itemize}
    257                 \item $x(t)$
    258                 \item $x(-t)$
    259                 \item $x(t/5)$
    260                 \item $x(1 + 3t)$
    261                 \item $x(-1 - 3t)$
    262         \end{itemize}
    263 \end{itemize}
    264 
    265 \begin{lstlisting}[language=octave]
    266         octave> t = 0:0.1:5
    267         octave> x1 = t.*cos(2*pi*t)
    268         octave> x2 = -x1
    269         octave> x3 = (t/5).*cos(2*pi*(t/5))
    270         octave> x4 = (1 + 3*t).*cos(2*pi*(1 + 3*t))
    271         octave> x5 = -x4
    272         octave> subplot(3, 2, 1)
    273         octave> plot(t, x1)
    274         octave> title("x(t)")
    275         octave> subplot(3, 2, 2)
    276         octave> plot(t, x2)
    277         octave> title("x(-t)")
    278         octave> subplot(3, 2, 3)
    279         octave> plot(t, x3)
    280         octave> title("x(t/5)")
    281         octave> subplot(3, 2, 4)
    282         octave> plot(t, x4)
    283         octave> title("x(1+3*t)")
    284         octave> subplot(3, 2, 5)
    285         octave> plot(t, x5)
    286         octave> title("x(-1-3*t)")
    287 \end{lstlisting}
    288 
    289 \begin{figure}[H]
    290         \centering
    291         \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig6.png}
    292         \caption{$x(t)$, $x(-t)$, $x(t/5)$, $x(1+3t)$, $x(-1-3t)$}
    293 \end{figure}
    294 
    295 \pagebreak
    296 \section{Εργαλεία}
    297 Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την υλοποίηση αυτής της εργασίας ήτανε
    298 τα εξής:
    299 \begin{itemize}
    300         \item Περιβάλλον: GNU Octave 5.2.0
    301         \item Επιπλέον πακέτα:
    302         \begin{itemize}
    303                 \item \lstinline{octave-forge-symbolic}
    304                 \item \lstinline{octave-forge-signal}
    305         \end{itemize}
    306         \item Λειτουργικό σύστημα: FreeBSD 12.2
    307         \item Κειμενογράφος: Vim
    308         \item Μορφοποίηση κειμένου: \LaTeX
    309 \end{itemize}
    310 
    311 \end{document}