doc.tex (12332B)
1 \documentclass{article} 2 \usepackage[utf8]{inputenc} 3 \usepackage[greek,english]{babel} 4 \usepackage{alphabeta} 5 \usepackage{fancyhdr} 6 \usepackage{listings} 7 \usepackage{mathtools} 8 \usepackage{xcolor} 9 \usepackage{graphicx} 10 \usepackage{float} 11 \usepackage[backend=biber]{biblatex} 12 13 \title{Σήματα και Συστήματα - Εργασία 2} 14 \author{Χρήστος Μαργιώλης - 19390133} 15 \date{Απρίλιος 2021} 16 17 \begin{document} 18 19 \begin{titlepage} 20 \maketitle 21 \begin{figure}[t!] 22 \begin{center} 23 \includegraphics[scale=0.3]{./res/uniwalogo.png} \\ 24 \Large 25 \textbf{Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής} \\ 26 \large 27 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 28 \end{center} 29 \end{figure} 30 \end{titlepage} 31 32 \renewcommand{\contentsname}{Περιεχόμενα} 33 \tableofcontents 34 35 \section{'Ασκηση 1} 36 37 \begin{itemize} 38 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 39 \[x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)\] 40 \end{itemize} 41 42 Αρχικά ορίζουμε ένα χρονικό διάστημα $t$ - θα το ορίσουμε από το -5 εώς το 10: 43 \begin{lstlisting}[language=octave] 44 octave> t = -5:0.1:10 45 \end{lstlisting} 46 47 Με τη χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} θα υπολογίσουμε τις 48 τιμές των συναρτήσεων $u(t + 1)$, $u(t - 2)$ και $u(t + 4)$. Μπορούμε 49 για κάθε συνάρτηση να αποθηκεύσουμε την έξοδό της \lstinline{heaviside()} 50 σε μία προσωρινή μεταβλητή, αλλά για μεγαλύτερη άνεση και εξοικονόμιση 51 χρόνου θα αποθηκεύσουμε τα πάντα κατευθείαν στο $x$: 52 \begin{lstlisting}[language=octave] 53 octave> x = heaviside(t+1)-heaviside(t-2)+heaviside(t+4) 54 \end{lstlisting} 55 56 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$ 57 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης: 58 \begin{lstlisting}[language=octave] 59 octave> plot(t, x) 60 octave> xlim([-5 10]) 61 \end{lstlisting} 62 63 \begin{figure}[H] 64 \centering 65 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig2.png} 66 \caption{$x(t) = u(t + 1) - u(t - 2) + u(t + 4)$ με τη χρήση της 67 \lstinline{heaviside()}} 68 \end{figure} 69 70 \section{'Ασκηση 2} 71 72 \begin{itemize} 73 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 74 \[x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))\] 75 \end{itemize} 76 77 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα το χρονικό διάστημα $t$ από από το -5 ως το 10: 78 \begin{lstlisting}[language=octave] 79 octave> t = -5:0.1:10 80 \end{lstlisting} 81 82 Για να υπολογίσουμε τις τιμές των μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων $u(t)$ 83 και $u(t - 3)$ θα χρησιμοποιήσουμε κατευθείαν την συνάρτηση 84 \lstinline{heaviside()}: 85 \begin{lstlisting}[language=octave] 86 octave> x = t.*sin(2*pi*t).*(heaviside(t)-heaviside(t-3)) 87 \end{lstlisting} 88 89 Τέλος, σχεδιάζουμε το σήμα $x(t)$ και τροποποιούμε τον άξονα $x$ 90 για καλύτερη εμφάνιση της γραφικής παράστασης: 91 \begin{lstlisting}[language=octave] 92 octave> plot(t, x) 93 octave> xlim([-5 10]) 94 \end{lstlisting} 95 96 \begin{figure}[H] 97 \centering 98 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig3.png} 99 \caption{$x(t) = t\sin(2\pi t)(u(t) - u(t - 3))$} 100 \end{figure} 101 102 \section{'Ασκηση 3} 103 104 \begin{itemize} 105 \item Να σχεδιαστεί το σήμα 106 \[x(t) = t^3 \cos(10\pi t)p 2(t - 1)\] 107 όπου $pT(t)$ τετραγωνικός παλμός διάρκειας $T$. 108 \end{itemize} 109 110 Ο τετραγωνικός παλμός $pT(t)$ ορίζεται ως 111 \[pT(t) = u(t + \frac{T}{2}) - u(t - \frac{T}{2})\] 112 Οπότε, με βάση την εκφώνηση και τον παραπάνω τύπο έχουμε ότι: 113 \[p2(t - 1) \Rightarrow u(t - 1 + \frac{2}{2}) - u(t - 1 - \frac{2}{2}) 114 \Rightarrow u(t - 1 + 1) - u(t - 1 - 1) \Rightarrow u(t) - u(t - 2)\] 115 116 Τώρα, με την χρήση της συνάρτησης \lstinline{heaviside()} μπορούμε να 117 υπολογίσουμε τις τιμές του τετραγωνικού παλμού $p2(t - 1)$: 118 \begin{lstlisting}[language=octave] 119 octave> p = heaviside(t)-heaviside(t-2) 120 \end{lstlisting} 121 122 'Εχοντας το $p2(t - 1)$ μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και να σχεδιάσουμε 123 το σήμα $x(t)$. Επίσης θα τροποποιήσουμε τον άξονα $x$ ώστε να εμφανιστεί 124 πιο καθαρά η γραφική παράσταση: 125 \begin{lstlisting}[language=octave] 126 octave> x = t.^3.*cos(10*pi*t).*p 127 octave> plot(t, x) 128 octave> xlim([-5 10]) 129 \end{lstlisting} 130 131 \begin{figure}[H] 132 \centering 133 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig4.png} 134 \caption{$x(t) = t^3cos(10\pi t)p2(t - 1)$} 135 \end{figure} 136 137 \section{'Ασκηση 4} 138 139 \begin{itemize} 140 \item Να εκφταστεί και να σχεδιαστεί το σήμα (φυλλάδιο εργασίας 141 σελίδα 28) ως άθροισμα μόνο συναρτήσεων ράμπας. 142 \end{itemize} 143 144 Η συνάρτηση ράμπας ορίζεται ως: 145 \[r(t) = tu(t)\] 146 Στο Octave, αυτό υπολογίζεται ως: 147 \begin{lstlisting}[language=octave] 148 octave> r = t.*heaviside(t) 149 \end{lstlisting} 150 Οπότε θα φτιάξουμε μία συνάρτηση - θα την ονομάσουμε \lstinline{ramp} - 151 η οποία θα υπολογίζει την συνάρτηση ράμπας. Η συνάρτηση θα δέχεται 152 ως όρισμα ένα $t$ και θα επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης $r(t)$: 153 \begin{lstlisting}[language=octave] 154 function r = ramp(t) 155 r = t.*heaviside(t) 156 endfunction 157 \end{lstlisting} 158 159 Το σήμα που ζητάει η εκφώνηση εκφράζεται ως 160 \[x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)\] 161 και το χρονικό διάστημα είναι το $t = [-2,3]$. Οπότε: 162 \begin{lstlisting}[language=octave] 163 octave> t = -2:0.1:3 164 octave> r = ramp(t)-ramp(t-1)-ramp(t-2) 165 octave> plot(t, r) 166 octave> ylim([-0.3 1.3]) 167 \end{lstlisting} 168 169 \begin{figure}[H] 170 \centering 171 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig7.png} 172 \caption{$x(t) = r(t) - r(t-1) - r(t-2)$} 173 \end{figure} 174 175 \section{'Ασκηση 5} 176 177 \begin{itemize} 178 \item Δίνεται το σήμα 179 \[x(t) = te^{-t}, 0 \leq t \leq 5\] 180 Να σχεδιαστούν: 181 \begin{itemize} 182 \item Το σήμα $x(t)$ 183 \item Το άρτιο σήμα $x_e(t)$ του $x(t)$ 184 \item Το περιττό σήμα $x_o(t)$ του $x(t)$ 185 \item Το άθροισμα $x_e(t) + x_o(t)$ 186 \end{itemize} 187 \end{itemize} 188 189 Θα σχεδιάσουμε τα τέσσερα ζητούμενα σήματα στο ίδιο παράθυρο με την 190 χρήση της συνάρτησης \lstinline{subplot()}. 191 192 Αρχικά ορίζουμε το διάστημα $t = [0, 5]$: 193 \begin{lstlisting}[language=octave] 194 octave> t = 0:0.1:5 195 \end{lstlisting} 196 197 Υπολογίζουμε τις τιμές του σήματος $x(t) = te^{-t}$ και σχεδιάζουμε το σήμα. 198 Σε όλα τα σήματα που θα σχεδιάσουμε θα τους δώσουμε και επίσης και έναν τίτλο 199 ώστε να μπορούμε να ξεχωρίσουμε σε ποιο σήμα αντιστοιχεί η κάθε γραφική 200 παράσταση: 201 \begin{lstlisting}[language=octave] 202 octave> x = t.*exp(-t) 203 octave> sublot(2, 2, 1) 204 octave> plot(t, x) 205 octave> title("x(t) = t.*exp(-t)") 206 \end{lstlisting} 207 208 Το άρτιο μέρος ενός σήματος ορίζεται ως: 209 \[x_e(t) = \frac{1}{2}(x(t) + x(-t))\] 210 και το περιττό μέρος ως: 211 \[x_o(t) = \frac{1}{2}(x(t) - x(t))\] 212 Για να υπολογίσουμε το $x(-t)$ θα μπορούσαμε να φτιάξουμε μία νέα μεταβλητή 213 $-t$ η οποία θα κρατάει το διάστημα χρόνου αντιστραμένο - δηλαδή 214 $-t = [-5, 0]$ - αλλά το Octave παρέχει την συνάρτηση \lstinline{fliplr()} 215 η οποία μπορεί να αντιστρέψει ένα διάνυσμα. Το αποτέλεσμα της 216 \lstinline{fliplr()} θα το αποθηκεύσουμε στο διάνυσμα \lstinline{xrev} 217 ώστε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του αρτίου και περιττού 218 σήματος: 219 \begin{lstlisting}[language=octave] 220 octave> xrev = fliplr(x) 221 octave> xe = 0.5*(x + xrev) 222 octave> xo = 0.5*(x - xrev) 223 octave> subplot(2, 2, 2) 224 octave> plot(t, xe) 225 octave> title("x_{even}") 226 octave> subplot(2, 2, 3) 227 octave> plot(t, xo) 228 octave> title("x_{odd}") 229 \end{lstlisting} 230 231 Για τον υπολογισμό του αθροίσματος, απλώς προσθέτουμε τα σήματα 232 $x_e(t)$ και $x_o(t)$ που υπολογίσαμε παραπάνω. 233 \begin{lstlisting}[language=octave] 234 octave> xeo = xe + xo 235 octave> subplot(2, 2, 4) 236 octave> plot(t, xeo) 237 octave> title("x_{eo}") 238 \end{lstlisting} 239 240 Παρατηρούμε ότι ισχύει 241 \[x(t) = x_e + x_o\] 242 δηλαδή το άθροισμα του αρτίου και του περιττού σήματος είναι ίσο 243 με το αρχικό σήμα $x(t)$: 244 \begin{figure}[H] 245 \centering 246 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig5.png} 247 \caption{$x(t)$, $x_e(t)$, $x_o(t)$, $x_e(t) + x_o(t)$} 248 \end{figure} 249 250 \section{'Ασκηση 6} 251 252 \begin{itemize} 253 \item 'Εστω το σήμα 254 \[x(t) = t\cos(2\pi t), 0 \leq t \leq 5\] 255 Να σχεδιάσετε τα σήματα: 256 \begin{itemize} 257 \item $x(t)$ 258 \item $x(-t)$ 259 \item $x(t/5)$ 260 \item $x(1 + 3t)$ 261 \item $x(-1 - 3t)$ 262 \end{itemize} 263 \end{itemize} 264 265 \begin{lstlisting}[language=octave] 266 octave> t = 0:0.1:5 267 octave> x1 = t.*cos(2*pi*t) 268 octave> x2 = -x1 269 octave> x3 = (t/5).*cos(2*pi*(t/5)) 270 octave> x4 = (1 + 3*t).*cos(2*pi*(1 + 3*t)) 271 octave> x5 = -x4 272 octave> subplot(3, 2, 1) 273 octave> plot(t, x1) 274 octave> title("x(t)") 275 octave> subplot(3, 2, 2) 276 octave> plot(t, x2) 277 octave> title("x(-t)") 278 octave> subplot(3, 2, 3) 279 octave> plot(t, x3) 280 octave> title("x(t/5)") 281 octave> subplot(3, 2, 4) 282 octave> plot(t, x4) 283 octave> title("x(1+3*t)") 284 octave> subplot(3, 2, 5) 285 octave> plot(t, x5) 286 octave> title("x(-1-3*t)") 287 \end{lstlisting} 288 289 \begin{figure}[H] 290 \centering 291 \includegraphics[width=\linewidth]{res/fig6.png} 292 \caption{$x(t)$, $x(-t)$, $x(t/5)$, $x(1+3t)$, $x(-1-3t)$} 293 \end{figure} 294 295 \pagebreak 296 \section{Εργαλεία} 297 Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την υλοποίηση αυτής της εργασίας ήτανε 298 τα εξής: 299 \begin{itemize} 300 \item Περιβάλλον: GNU Octave 5.2.0 301 \item Επιπλέον πακέτα: 302 \begin{itemize} 303 \item \lstinline{octave-forge-symbolic} 304 \item \lstinline{octave-forge-signal} 305 \end{itemize} 306 \item Λειτουργικό σύστημα: FreeBSD 12.2 307 \item Κειμενογράφος: Vim 308 \item Μορφοποίηση κειμένου: \LaTeX 309 \end{itemize} 310 311 \end{document}